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已知:直角梯形OABC中,BC∥OA,∠AOC=90°,以AB为直径的圆M交OC于D、E,连接AD、BD、BE.
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(1)在不添加其他字母和线的前提下,直接写出图1中的两对相似三角形.
 
 

(2)直角梯形OABC中,以O为坐标原点,A在x轴正半轴上建立直角坐标系(如图2),若抛物线y=ax2-2ax-3a(a<0)经过点A、B、D,且B为抛物线的顶点.
①写出顶点B的坐标(用a的代数式表示)
 

②求抛物线的解析式;
③在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P:过点P做PN⊥x轴于N,使得△PAN与△OAD相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由.
分析:(1)由圆周角定理知:∠ADB=90°,首先可联想到的相似三角形是△BCD和△DOA;易知∠BAD=∠BED,可得的另一对相似三角形是Rt△ABD和Rt△EBC;
(2)①用公式法或配方法均能求出顶点B的坐标;
②根据抛物线的解析式,易求得B、D、A的坐标,也就得到了OA、OD、CD、BC的长,根据(1)得出的相似三角形,即可根据对应的成比例线段求出a的值,也就能求出抛物线的解析式;
③由②易知△OAD是等腰Rt△,若△PAN与△OAD相似,则△PAN也必须是等腰Rt△;可根据抛物线的解析式设出P点坐标,然后根据PN=AN的条件来求出P点的坐标.(注意P点横坐标的取值范围)
解答:解:(1)△OAD∽△CDB,△ADB∽△ECB;(4分)

(2)①(1,-4a)(5分)
②∵△OAD∽△CDB
DC
OA
=
CB
OD
(6分)
∵ax2-2ax-3a=0,可得A(3,0)(8分)
又∵OC=-4a,OD=-3a,CD=-a,CB=1,
1
-3a
=
-a
3

∴a2=1,
∵a<0,
∴a=-1;
故抛物线的解析式为:y=-x2+2x+3(10分)
③存在,(11分)
设P(x,-x2+2x+3)
∵△PAN与△OAD相似,且△OAD为等腰三角形
∴PN=AN
当x<0(x<-1)时,-x+3=-(-x2+2x+3),x1=-2,x2=3(舍去),
∴P(-2,-5)(13分)
当x>0(x>3)时,x-3=-(-x2+2x+3),x1=0,x2=3;(都不合题意舍去)
符合条件的点P为(-2,-5).(14分)
点评:此题考查了直角梯形的性质、圆周角定理、相似三角形的判定和性质、二次函数解析式的确定、等腰直角三角形的判定和性质等,涉及知识点较多,难度较大.
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已知,在Rt△OAB中,∠OAB=90°,∠BOA=30°,AB=2.若以O为坐标原点,OA所在直精英家教网线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系,点B在第一象限内.将Rt△OAB沿OB折叠后,点A落在第一象限内的点C处.
(1)求点C的坐标;
(2)若抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过C、A两点,求此抛物线的解析式;
(3)若上述抛物线的对称轴与OB交于点D,点P为线段DB上一动点,过P作y轴的平行线,交抛物线于点M,问:是否存在这样的点P,使得四边形CDPM为等腰梯形?若存在,请求出此时点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C,A(1,1)、B(3,1).动点P从O点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过P点作PQ垂直于直线OA,垂足为Q.设P点移动的时间为t秒(0<t<4),△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S.
(1)求经过O、A、B三点的抛物线解析式;
(2)求S与t的函数关系式;
(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使得以C、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
(4)将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

如图所示,已知在直角梯形OABC中,AB∥OC,BC⊥x轴于点C,A(1,1)、B(3,1).动点P从O点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过P点作PQ垂直于直线OA,垂足为Q.设P点移动的时间为t秒(0<t<4),△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S.
(1)求经过O、A、B三点的抛物线解析式;
(2)求S与t的函数关系式;
(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使得以C、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
(4)将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点O或Q在抛物线上?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.

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科目:初中数学 来源: 题型:

如图所示,已知在直角梯形OABC中,ABOCBCx轴于点CA(1,1)、B(3,1).动点PO点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度移动.过P点作PQ垂直于直线OA,垂足为Q.设P点移动的时间为t秒(0<t<4),△OPQ与直角梯形OABC重叠部分的面积为S

(1)求经过OAB三点的抛物线解析式;

(2)求St的函数关系式;

(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使得以CPQ为顶点的三角形与△OAB相似?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.

(4)将△OPQ绕着点P顺时针旋转90°,是否存在t,使得△OPQ的顶点OQ在抛物线上?若存在,直接写出t的值;若不存在,请说明理由.

 


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(2)求S与t的函数关系式;
(3)在运动过程中,是否存在某一时刻t,使得以C、P、Q为顶点的三角形与△OAB相似?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由.
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