Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(0,2)，点D在x轴的负半
轴上，∠ODB=30°，OE为△BOD的中线，过B、E两点的抛物线y=ax²－x+c与x轴相交于A、F两点（A在F的右侧）．
【小题1】求抛物线的解析式；
【小题2】点P是上述抛物线上一动点，若由点D、O、E、P构成四边形为梯形，则这样的点P有几个？试求出其中两个点P的坐标；
【小题3】等边△OMN的顶点M、N在线段AE上，求AE及AM的长．

Answer 1

【小题1】抛物线的解析式为
【小题2】点P有5个；
【小题3】，或；解析:
本题考查的二次函数与几何图形的综合应用。首先由直角三角形知识求得D、E两点坐标然后用待定系数法求出解析式。对于梯形问题分情况讨论。
解：（1）过E作EG⊥OD于G∵∠BOD=∠EGD=90°，∠D=∠D，∴△BOD∽△EGD，
∵点B（0，2），∠ODB=30°，可得OB=2，；∵E为BD中点，∴
∴EG=1，∴∴点E的坐标为……1’
∵抛物线经过B（0，2）、两点，∴可得；
∴抛物线的解析式为；……3’
(2)点P有5个；……4’      其中P₁(，1)
P₂(,)，P₃(,)，P₄(,)，P₅(,)