Question

1．如图1所示，AB是圆的一条弦，中点记为S，圆心为O，过S作任意两条弦CD、EF，分别交圆于C、D、E、F．

（Ⅰ）如图2所示，若圆的半径为2，弦AB的长是2$\sqrt{3}$，且CD⊥EF，连接CF，ED，CE，DF，记CD的长为x，EF的长为y，求x与y的函数关系式，并求四边形CEDF的面积最大值；
（Ⅱ）如图3所示，连接CF，ED分别交AB于点M、N，求证：CM•MF=EN•ND．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先由垂径定理和勾股定理求出OS=1，过点O作CD，EF的垂线，得出矩形，由勾股定理求出OH²，OG²，进而用OG²+OH²=1，建立方程即可得出函数关系式，即极值；
（Ⅱ）先判断出△ESD∽△CSF，进而判断出O，S，N，L四点共圆，同理：O，T，M，S四点共圆，再用相交弦定理即可．

解答 解：（Ⅰ）如图1，

连接OS，OB，
∵点S是AB中点，点O是圆心，
∴OS⊥AB，
AS=$\frac{1}{2}$AB=1，
在Rt△OBS中，OB=2，
∴OS=1，
作OG⊥CD于G，OH⊥EF于H，
∵CD⊥EF，
∴四边形OGSH是矩形，
∴GS=OH，
根据勾股定理得，OG²+GS²=OS²=1，
∴OG²+OH²=1
连接OC，
∴OG²=OC²-CD²=4-（$\frac{x}{2}$）²
同理：OH²=4-（$\frac{y}{2}$）²，
∴4-（$\frac{x}{2}$）²+4-（$\frac{y}{2}$^）2=1，
∴y=$\sqrt{28-{x}^{2}}$（2$\sqrt{3}$≤x≤4）
∵CD⊥EF，
∴S=S_{四边形CEDF}=$\frac{1}{2}$xy，
∴S²=$\frac{1}{4}$x²×y²=$\frac{1}{4}$x²（28-x²）=-$\frac{1}{4}$（x²-14）²+49，
∴当x²=14即x=$\sqrt{14}$时，S最大=7，
（Ⅱ）如图3，

过O作OL⊥ED，OT⊥CF．连接ON，OM，OS，SL，ST，
∴LE=$\frac{1}{2}$ED，CT=$\frac{1}{2}$FC
∵∠ESD=∠CSF，∠SED=∠SCF，
∴△ESD∽△CSF，
∴$\frac{ES}{CS}=\frac{ED}{FC}$，
∴$\frac{ES}{CS}=\frac{LE}{CT}$
∵∠E=∠C，
∴△ESL∽△CST，
∴∠SLN=∠STM．
∵S是AB中点，
∴OS⊥AB．
∴∠OSN=∠OLN=90°，
∴∠OSN+∠OLN=180°，
∴O，S，N，L四点共圆，
同理：O，T，M，S四点共圆，
∴∠STM=∠SOM，∠SLN=∠SON，
∴∠SON=∠SOM，
∵OS⊥AB，
∴MS=NS，
∴CM•MF=AM•MB，EN•ND=BN•NA，
∵AM=BN，BM=AN，
∴CM•MF=EN•ND．

点评 此题是圆的综合题，主要考查了相似三角形的判定和性质，圆的性质，垂径定理，勾股定理，四点共圆，四边形的面积的求法，相交弦定理，解本题的关键是用勾股定理和垂径定理，作出辅助线是解本题的难点，是一道比较麻烦的试题．