Question

5．如图，E，F，G，H分别为矩形ABCD的四条边上的动点，AE=DH=CG=FB，连接EF，FG，GH，HE得到四边形EFGH．
（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；
（2）如图2，若AB=m，AD=n（m＞n），HM⊥FG，M为垂足，则GM的长是否为定值？若是，求其值；若不是，求其范围；
（3）若AB=25，AD=15，设AE=x，四边形EFGH的面积为y，当x为何值时，y最大？

Answer 1

分析 （1）只要证明△DEH≌△BFG，得到EH=FG，同理可证EF=HG，由此即可证明．
（2）GM的长不是定值．取特殊位置解决问题，如图1中，当E与D重合时，B与G重合，得GM的最大值；如图2中，当E与A重合时，得GM的最小值．
（3）构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠B=90°，AB=CD，AD=BC，
∵AE=DH=CG=FB，
∴DH=BF，DE=BG，
在△DEH和△BFG中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=BG}\\{∠D=∠B}\\{DH=BF}\end{array}\right.$，
∴△DEH≌△BFG，
∴EH=FG，同理可证EF=HG，
∴四边形EFGH是平行三角形．

（2）解：GM的长不是定值．
如图1中，当E与D重合时，B与G重合，则四边形HMBC是矩形，所以GM=HC=m-n，
如图2中，当E与A重合时，四边形EFGH是矩形，M与G重合，MG=0，
综上所述，0≤MG≤m-n．


（3）解：如图3中，

∵AE=DH=CG=BF=x，AD=BC=15，AB=CD=25，
∴DE=BG=15-x，CH=AF=25-x，
∴S=15×25-2×$\frac{1}{2}$×x×（15-x）+2×$\frac{1}{2}$×x（25-x）=2x²-40x+375=2（x-10）²=2（x-10）²+175．
∵2＞0，0≤x≤15，
∴由二次函数图象的性质可知x=0或15时，S有最大值，最大值为375．

点评 本题考查矩形的性质、平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识，解题的关键是学会取特殊位置确定最值问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．