【题目】如图1,已知四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点E,以点E为顶点作正方形EFGH.
(1)如图1,点A、D分别在EH和EF上,连接BH、AF,直接写出BH和AF的数量关系;
(2)将正方形EFGH绕点E顺时针方向旋转.
①如图2,判断BH和AF的数量关系,并说明理由;
②如果四边形ABDH是平行四边形,请在备用图中补全图形;如果四方形ABCD的边长为,求正方形EFGH的边长.
【答案】(1)见解析;(2)①BH=AF,理由见解析,②正方形EFGH的边长为.
【解析】(1)根据正方形的对角线互相垂直平分可得AE=BE,∠BEH=∠AEF=90°,然后利用“边角边”证明△BEH和△AEF全等,根据全等三角形对应边相等即可得证;
(2)①根据正方形的性质得到AE=BE,∠BEA=90°,EF=EH,∠HEF=90°,根据全等三角形的性质即可得到结论;
②如备用图,根据平行四边形的性质得到AH∥BD,AH=BD,于是得到∠EAH=∠AEB=90°,根据勾股定理即可得到结论.
(1)在正方形ABCD中,AE=BE,∠BEH=∠AEF=90°,
∵四边形EFGH是正方形,∴EF=EH,
在△BEH和△AEF中,
∵,∴△BEH≌△AEF(SAS),∴BH=AF;
(2)①BH=AF,理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,∴AE=BE,∠BEA=90°,
∵四边形EFGH是正方形,∴EF=EH,∠HEF=90°,∴∠BEA+∠AEH=∠HEF+∠AEH,
即∠BEH=∠AEF,
在△BEH与△AEF中,∵,∴△BEH≌△AEF,∴BH=AF;
②如备用图.∵四边形ABDH是平行四边形,∴AH∥BD,AH=BD,∴∠EAH=∠AEB=90°,
∵四方形ABCD的边长为,∴AE=BE=CE=DE=1,
∴EH==
=
,
∴正方形EFGH的边长为.
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【题目】函数y= 和y=
在第一象限内的图象如图,点P是y=
的图象上一动点,PC⊥x轴于点C,交y=
的图象于点B.给出如下结论:①△ODB与△OCA的面积相等;②PA与PB始终相等;③四边形PAOB的面积大小不会发生变化;④CA=
AP.其中所有正确结论的序号是( )
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②④
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【题目】如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,且AE= AB,将矩形沿直线EF折叠,点B恰好落在AD边上的点P处,连接BP交EF于点Q,对于下列结论:①EF=2BE;②PF=2PE;③FQ=4EQ;④△PBF是等边三角形.其中正确的是( )
A.①②
B.②③
C.①③
D.①④
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【题目】如图,正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后,若顶点A,B,C,D的坐标分别是(0,a),(﹣3,2),(b,m),(c,m),则点E的坐标是( )
A.(2,﹣3)
B.(2,3)
C.(3,2)
D.(3,﹣2)
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【题目】如图,在四边形ABCD中,AB=CD,BF=DE,AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.
(1)求证:△ABE≌△CDF;
(2)若AC与BD交于点O,求证:AO=CO.
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【题目】一辆出租车从A地出发,在一条东西走向的街道上往返,每次行驶的情况(记向东为正)记录如下(x>5且x<14,单位:m):
行驶次数 | 第一次 | 第二次 | 第三次 | 第四次 |
行驶情况 | x | ﹣ | x﹣3 | 2(5﹣x) |
行驶方向(填“东”或“西”) |
|
|
|
|
(1)请将表格补充完整;
(2)求经过连续4次行驶后,这辆出租车所在的位置;
(3)若出租车行驶的总路程为41m,求第一次行驶的路程x的值.
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【题目】阅读材料:像、
、
两个含有二次根式的代数式相乘,积不含有二次根式,我们称这两个代数式互为有理化因式
例如,
与
、
与
、
与
等都是互为有理化因式
在进行二次根式计算时,利用有理化因式,可以化去分母中的根号.
例如;;
.
解答下列问题:
(1)与________互为有理化因式,将
分母有理化得________;
(2)计算:;
(3)己知有理数a、b满足,求a、b的值.
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【题目】下列变形中:
①由方程=2去分母,得x﹣12=10;
②由方程x=
两边同除以
,得x=1;
③由方程6x﹣4=x+4移项,得7x=0;
④由方程2﹣两边同乘以6,得12﹣x﹣5=3(x+3).
错误变形的个数是( )个.
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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