Question

以定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上（AM＞MD），如图所示．
（1）求证：M是线段AD的黄金分割点．
（2）如果AB=

5

+1，求AM的长．
（3）作PN⊥PD交BC于N连ND．△BPN与△PDN是否相似．若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）首先设PA=a，由正方形的性质与勾股定理，即可求得PD的长，又由PF=PD，即可求得FA的长，根据正方形的四边都相等，即可求得AM的值，再求AM与AD的比值，即可证得答案的正确性；
（2）根据（1）中的知识，求得PA的值，代入求解即可求得答案；
（3）首先利用有两角对应相等的三角形相似，证得△APD∽△BNP，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得
2BN=PB，设BN=x，利用勾股定理求得PN与PD的长，即可求得

PD

PB

=

PN

BN

=

5

，由对应边成比例且夹角相等的三角形相似，即可证得△BPN∽△PDN．

解答：（1）证明：设PA=a，
∵P是AB的中点，
∴AB=2AP=2a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠PAD=90°，AD=AB=2a，
在Rt△PAD中，PD=

PA2+AD2

=

5

a，
∵PF=PD=

5

a，
∴FA=PF-PA=

5

a-a=（

5

-1）a，
∵四边形AMEF是正方形，
∴AM=AF=（

5

-1）a，
∴

AM

AD

=

( 5 -1)a

2a

=

5 -1

2

，
∴M是线段AD的黄金分割点．

（2）解：由（1）知：PA=

1

2

AB=

5 +1

2

，
∴AM=（

5

-1）•PA=（

5

-1）×

5 +1

2

=2；

（3）解：△BPN与△PDN相似．
理由：∵PN⊥PD，
∴∠1+∠2=90°，∠DPN=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=∠ADC=∠PAD=90°，AD=AB=BC=CD，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠3=∠2，
∴△APD∽△BNP，
∴

AD

PB

=

PA

BN

，
∵AP=

1

2

AB，
∴BN=

1

4

BC，
设BN=x，则CN=3x，AD=AB=BC=CD=4x，AP=BP=2x，
∴在Rt△PAD中，PD=

AD2+AP2

=2

5

x，
同理：PN=

5

x，
∴

PD

PB

=

PN

BN

=

5

，
∴△BPN∽△PDN．

点评：此题考查了正方形的性质，黄金分割的知识以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性很强，难度适中，注意数形结合思想的应用．