Question

12．如图，已知抛物线y=x²-（m+3）x+9的顶点C在x轴正半轴上，一次函数y=x+3与抛物线交于A、B两点，与x、y轴分别交于D、E两点．
（1）求m的值；
（2）求A、B两点的坐标；
（3）当-3＜x＜1时，在抛物线上是否存在一点P，使得△PAB的面积是△ABC面积的2倍？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由顶点在x轴上知它与x轴只有一个交点，即对应一元二次方程中△=0，可得关于m的方程，求解即可得m；
（2）联立抛物线与直线解析式可得方程组，求解即可得A、B坐标；
（3）设点P（a，b），作PT⊥x轴交BD于点E，AR⊥x轴，BS⊥x轴，分别表示出AR、BS、RC、CS、RS、PT、RT、ST的长，根据S_△ABC=S_梯形ARSB-S_△ARC-S_△BCS求出S_△ABC，由S_△PAB=S_梯形PBST-S_梯形ABSR-S_梯形ARTP表示出S_△PAB，根据△PAB的面积是△ABC面积的2倍可得a、b间关系，代入抛物线解析式即可求得．

解答 解：（1）∵抛物线的顶点在x轴上，
∴它与x轴只有一个交点，
∴（m+3）²-4×9=0，
解得m=3或m=-9，
又∵抛物线对称轴大于0
∴-$\frac{-（m+3）}{2}$＞0，即m＞-3，
∴m=3；

（2）由（1）可得抛物的解析式为y=x²-6x+9，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-6x+9}\\{y=x+3}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=9}\end{array}\right.$，
∴点A的坐标为（1，4），点B的坐标为（6，9）； 

（3）存在，
设点P（a，b），如图，作PT⊥x轴交BD于点E，AR⊥x轴，BS⊥x轴，

∵A（1，4），B（6，9），C（3，0），P（a，b）
∴AR=4，BS=9，RC=3-1=2，CS=6-3=3，RS=6-1=5，PT=b，RT=1-a，ST=6-a，
∴S_△ABC=S_梯形ARSB-S_△ARC-S_△BCS
=$\frac{1}{2}$×（4+9）×5-$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×3×9
=15，
S_△PAB=S_梯形PBST-S_梯形ABSR-S_梯形ARTP
=$\frac{1}{2}$×（9+b）（6-a）-$\frac{1}{2}$×（4+9）×5-$\frac{1}{2}$×（b+4）（1-a）
=$\frac{1}{2}$（5b-5a-15），
又∵S_△PAB=2S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$（5b-5a-15）=30，
∴b-a=15，b=15+a，
∵点P在抛物线上
∴b=a²-6a+9，
∴15+a=a²-6a+9，
∴a²-7a-6=0，
解得：a=$\frac{7±\sqrt{73}}{2}$，
∵-3＜a＜1，
∴a=$\frac{7-\sqrt{73}}{2}$，
∴b=15+a=$\frac{37-\sqrt{73}}{2}$，
∴P（$\frac{7-\sqrt{73}}{2}$，$\frac{37-\sqrt{73}}{2}$）．

点评 本题主要考查二次函数与一次函数相交的问题及三角形面积的求解，根据两个三角形面积间关系得出关于点P横纵坐标联系是解题关键．