Question

某公司积极应对2008年世界金融危机，及时调整投资方向生产新产品，由于新产品开发初期成本高，且市场占有率不高等因素的影响，产品投产上市一年来，公司经历了由初期的亏损到后来逐步盈利的过程（公司对经营的盈亏情况每月最后一天结算1次），公司累积获得的利润y（万元）与销售时间x（月）之间的函数关系（即前x个月的利润总和y与x之间的关系）如图所示，其中曲线OAB为抛物线的一部分，点A为该抛物线的顶点，BC是线段．
（1）求该公司累积获得的利润y（万元）与时间x（月）之间的函数关系式；
（2）直接写出x月份所获得的利润w（万元）与时间x（月）之间的函数关系式；
（3）前12个月中，几月份该公司所获得的利润最多？最多利润是多少万元？

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意此抛物线的顶点坐标为（3，-40），设出抛物线的顶点式，把（0，0）代入即可求出a的值，把a的值代入抛物线的顶点式中即可确定出抛物线的解析式；
（2）相邻两个月份的总利润的差即为某月利润．
（3）根据前x个月内所获得的利润减去前x-1个月内所获得的利润，再减去16即可表示出第x个月内所获得的利润，为关于x的一次函数，且为增函数，得到x取最大为12时，把x=12代入即可求出最多的利润．
解答：解：（1）根据题意可设：y=a（x-3）²-40，
当x=0时，y=0，所以a（0-3）²-40=0，
解得a=，
所求函数关系式为：y=（x-3）²-40；

（2）w=（x-3）²-40-[（x-1-3）²-40]=2x-5，

（3）设在前12个月中，第n个月该公司一个月内所获得的利润为s（万元），
则有：y=（x-3）²-40-[（x-1-3）²-40]=2x-5，
因为s是关于n的一次函数，且2＞0，s随着n的增大而增大，
而n的最大值为12，所以当n=12时，s=19，
所以第12月份该公司一个月内所获得的利润最多，最多利润是19万元．
点评：本题考查了二次函数的应用，主要考查学生会利用待定系数法求函数的解析式，灵活运用二次函数的图象与性质解决实际问题，是一道综合题．