Question

如图，已知△ACB与△DFE是两个全等的直角三角形，量得它们的斜边长为10cm，较小锐角为30°，将这两个三角形摆成如图1所示的形状，使点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合，将图1中的△ACB绕点C顺时针方向旋转到图2的位置，点E在AB边上，AC交DE于点G，则线段FG的长为    cm（保留根号）．

Answer 1

【答案】分析：△ACB与△DFE是两个全等的直角三角形，已知斜边DE=10，∠D=30°，可求CE；利用旋转60°可求∠ECG=30°，∠CEG=60°，从而可证∠CGE=90°．解直角△CEG即可．
解答：解：由题意知，在Rt△ABC中，
∠A=30°，∠B=60°，
由旋转的性质知图（2）中，CB=CE，
∴△BCE为等边三角形．
∴∠ECB=60°，∠ECG=30°．
而∠FED=60°．
∴∠EGC=90°．
在Rt△DEF中，CE=EF=DE•sin∠D=10×sin30°=5，（或：根据30°的角所对的直角边是斜边的一半）
在Rt△CEG中，FG=CE•sin∠CEG=5×sin60°=．
点评：本题考查旋转性质和三角函数定义：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻．