Question

已知菱形ABCD中，∠A＝60°，对角线AC、BD相交于O，边长AB＝16，以O为圆心，半径为多长时所作的圆才能与菱形四条边都相切？

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

Answer 1

答案：

解:设⊙O与AB相切于点E,连接OE,过点O分别作OF⊥BC、OG⊥CD、OH⊥AD.

∵ 四边形ABCD是菱形 AB=16 ∠DBA=60°

∴ ∠OAB=∠OAD=30° (菱形的每一条对角线平分一组对角)

AC⊥BD (菱形的对角线互相垂直)

∵ AC⊥BD ∠OAB=30° AB=16

∴ AO=8×3√ BO=8 (特殊角度的三角函数值)

∵ ⊙O与AB相切于点E

∴ OE⊥AB (过切点及圆心的线段垂直于该切线)

∵ AC⊥BD OE⊥AB AO=8×3√ BO=8 AB=16

∴ OE=4×3√

∵ ∠OAB=∠OAD OE⊥AB OH⊥AD

∴ OE=OH (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)

∴ ⊙O与AD相切于点H (某一线段垂直于过圆心的线段,且垂足到圆心的距离等于该圆的半径,则该线段是该圆的切线)

同理可得⊙O与BC、CD相切于点F、G

∴ 即⊙O的半径为4×3√时,所作的圆才能与菱形四条边都相切