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    如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上一动点，连接OB、AB，并延长AB至点D，使DB=AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连接CF．
    （1）当∠AOB=30°时，求弧AB的长度；
    （2）当DE=8时，求线段EF的长；
    （3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．

    【答案】分析：（1）连接BC，由已知得∠ACB=2∠AOB=60°，AC=AO=5，根据弧长公式求解；
    （2）连接OD，由垂直平分线的性质得OD=OA=10，又DE=8，在Rt△ODE中，由勾股定理求OE，依题意证明△OEF∽△DEA，利用相似比求EF；
    （3）存在．当以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似时，分为①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，②当交点E在点C的右侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，③当交点E在点O的左侧时，要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，三种情况，分别求E点坐标．
    解答：解：（1）连接BC，
    ∵A（10，0），∴OA=10，CA=5，
    ∵∠AOB=30°，
    ∴∠ACB=2∠AOB=60°，
    ∴弧AB的长=；（4分）

    （2）①若D在第一象限，
    连接OD，
    ∵OA是⊙C直径，
    ∴∠OBA=90°，
    又∵AB=BD，
    ∴OB是AD的垂直平分线，
    ∴OD=OA=10，
    在Rt△ODE中，
    OE==，
    ∴AE=AO-OE=10-6=4，
    由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，
    得△OEF∽△DEA，
    ∴，即，
    ∴EF=3；（4分）
    ②若D在第二象限，
    连接OD，
    ∵OA是⊙C直径，
    ∴∠OBA=90°，
    又∵AB=BD，
    ∴OB是AD的垂直平分线，
    ∴OD=OA=10，
    在Rt△ODE中，
    OE==，
    ∴AE=AO+OE=10+6=16，
    由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，
    得△OEF∽△DEA，
    ∴，即=，
    ∴EF=12；
    ∴EF=3或12；

    （3）设OE=x，
    ①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角
    形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，
    当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC
    中点，即OE=，
    ∴E1（，0）；
    当∠ECF=∠OAB时，有CE=5-x，AE=10-x，
    ∴CF∥AB，有CF=，
    ∵△ECF∽△EAD，
    ∴，即，解得：，
    ∴E2（，0）；

    ②当交点E在点C的右侧时，
    ∵∠ECF＞∠BOA，
    ∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，
    连接BE，
    ∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，
    ∴BE=AB=BD，
    ∴∠BEA=∠BAO，
    ∴∠BEA=∠ECF，
    ∴CF∥BE，
    ∴，
    ∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，
    ∴△CEF∽△AED，
    ∴，
    而AD=2BE，
    ∴，
    即，解得，＜0（舍去），
    ∴E3（，0）；

    ③当交点E在点O的左侧时，
    ∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF．
    ∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO
    连接BE，得BE==AB，∠BEA=∠BAO
    ∴∠ECF=∠BEA，
    ∴CF∥BE，
    ∴，
    又∵∠ECF=∠BAO，∠FEC=∠DEA=90°，
    ∴△CEF∽△AED，
    ∴，
    而AD=2BE，
    ∴，
    ∴，
    解得x1=，x2=，
    ∵点E在x轴负半轴上，
    ∴E4（，0），
    综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，
    此时点E坐标为：E1（，0）、E2（，0）、E3（，0）、E4（，0）．（4分）
    点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的运用，圆周角定理，弧长公式的运用．关键是理解题意，根据基本条件，图形的性质，分类求解．
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