如图.已知Rt△ABC中.∠C=90°.∠A=60°.AC=3cm.AB=6cm．点P在线段AC上以1cm/s的速度由点C向点A运动.同时.点Q在线段AB上以2cm/s由点A向点B运动.设运动时间为t(s)．(1)当t=1时.判断△APQ的形状,(2)是否存在时刻t.使△APQ与△CQP全等?若存在.请求出t的值.并加以证明,若不存在.请说明理由,(3)若点P.Q以原来的运动速� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm，AB=6cm．点P在线段AC上以1cm/s的速度由点C向点A运动，同时，点Q在线段AB上以2cm/s由点A向点B运动，设运动时间为t（s）．
（1）当t=1时，判断△APQ的形状（可直接写出结论）；
（2）是否存在时刻t，使△APQ与△CQP全等？若存在，请求出t的值，并加以证明；若不存在，请说明理由；
（3）若点P、Q以原来的运动速度分别从点C、A出发，都顺时针沿△ABC三边运动，则经过几秒后（结果可带根号），点P与点Q第一次在哪一边上相遇？并求出在这条边的什么位置．

考点：勾股定理,全等三角形的判定,等边三角形的判定

专题：几何综合题,动点型

分析：（1）分别求出AP、AQ的长，根据等边三角形的判定推出即可；
（2）根据已知分别求出AP、CP、AQ、CQ的长，根据全等三角形的判定推出即可；
（3）根据勾股定理求出BC，根据已知得出方程2t-t=AB+BC，求出t的值即可．

解答：解：（1）△APQ是等边三角形，
理由是：∵t=1，
∴AP=3-1×1=2，AQ=2×1=2，
∵∠A=60°，
∴△APQ是等边三角形；

（2）存在t=1.5，使△APQ≌△CPQ，

理由如下：
∵t=1.5s，
∴AP=CP=1.5cm，
∵AQ=3cm，
∴AQ=AC．
又∵∠A=60°，
∴△ACQ是等边三角形，
∴AQ=CQ，
在△APQ和△CPQ中

AQ=CQ

AP=CP

PQ=PQ

∴△APQ≌△CPQ；

（3）在Rt△ABC中，BC=

AB2-AC2

62-32

，
由题意得：2t-t=AB+BC，
即t=6+

，
∴点P运动的路程是（6+

）cm，
∵3+6＜6+

＜3+6+

，
∴第一次相遇在BC边上，
又（9+

）-（6+

）=3，
∴经过（6+

）秒点P与点Q第一次在边BC上距C点3cm处相遇．

点评：本题考查了勾股定理，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定的应用，题目是一道综合性比较强的题目，有一定的难度．

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；（用含m的代数式表示）
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