如图,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于点A(-3,0),点B(1,0),交y轴于点E(0,-3).点C是点A关于点B的对称点,点F是线段BC的中点,直线l过点F且与y轴平行.直线y=-x+m过点C,交y轴于D点.
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)点K为线段AB上一动点,过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H,与抛物线交于点G,求线段HG长度的最大值;
(3)在直线l上取点M,在抛物线上取点N,使以点A,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形,求点N的坐标.
解:(1)设抛物线的函数表达式为y=a(x-1)(x+3) ∵抛物线交y轴于点E(0,-3),将该点坐标代入上式,得a=1 ∴所求函数表达式为y=(x-1)(x+3), 即y=x2+2x-3; (2)∵点C是点A关于点B的对称点,点A坐标(-3,0),点B坐标(1,0), ∴点C坐标(5,0), ∴将点C坐标代入y=-x+m,得m=5, ∴直线CD的函数表达式为y=-x+5, 设K点的坐标为(t,0),则H点的坐标为(t,-t+5),G点的坐标为(t,t2+2t-3), ∵点K为线段AB上一动点, ∴-3≤t≤1, ∴HG=(-t+5)-(t2+2t-3)=-t2-3t+8=-(t+)2+, ∵-3<-<1, ∴当t=-时,线段HG的长度有最大值; (3)∵点F是线段BC的重点,点B(1,0),点C(5,0), ∴点F的坐标为(3,0), ∵直线l过点F且与y轴平行, ∴直线l的函数表达式为x=3, ∵点M在直线l上,点N在抛物线上, ∴设点M的坐标为(3,m),点N的坐标为(n,n2+2n-3), ∵点A(-3,0),点C(5,0), ∴AC=8, 分情况讨论: ①若线段AC是以点A、C,M、N为顶点的平行四边形的边,则需MN∥AC,且MN=AC=8. 当点N在点M的左侧时,MN=3-n, ∴3-n=8,解得n=-5, ∴N点的坐标为(-5,12), 当点N在点M的右侧时,MN=n-3, ∴n-3=8, 解得n=11, ∴N点的坐标为(11,140), ②若线段AC是以点A、C,M、N为顶点的平行四边形的对角线,由“点C与点A关于点B中心对称”知:点M与点N关于点B中心对称,取点F关于点B的对称点P,则P点坐标为(-1,0) 过P点作NP⊥x轴,交抛物线于点N, 将x=-1代入y=x2+2x-3,得y=-4, 过点N,B作直线NB交直线l于点M, 在△BPN和△BFM中, ∠NBP=∠MBF, BF=BP, ∠BPN=∠BFM=90°, ∴△BPN≌△BFM, ∴NB=MB,∴四边形ANCM为平行四边形, ∴坐标(-1,-4)的点N符合条件, ∴当N的坐标为(-5,12),(11,140),(-1,-4)时,以点A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形. |
科目:初中数学 来源:2008年江西省南昌市初中毕业升学统一考试、数学试卷 题型:044
如图,抛物线y1=-ax2-ax+1经过点P,且与抛物线y2=ax2-ax-1,相交于A,B两点.
(1)求a值;
(2)设y1=-ax2-ax+1与x轴分别交于M,N两点(点M在点N的左边),y2=ax2-ax-1与x轴分别交于E,F两点(点E在点F的左边),观察M,N,E,F四点的坐标,写出一条正确的结论,并通过计算说明;
(3)设A,B两点的横坐标分别记为xA,xB,若在x轴上有一动点Q(x,0),且xA≤≤x≤xB,过Q作一条垂直于x轴的直线,与两条抛物线分别交于C,D两点,试问当x为何值时,线段CD有最大值?其最大值为多少?
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科目:初中数学 来源: 题型:
(本题满分8分)如图,抛物线y=ax-5x+4a与x轴相交于点A、B,且经过点C(5,4).该抛物线顶点为P.
1.⑴求a的值和该抛物线顶点P的坐标.
2.⑵求DPAB的面积;
3.⑶若将该抛物线先向左平移4个单位,再向上平移2个单位,求出平移后抛物线的解析式.
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科目:初中数学 来源: 题型:
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科目:初中数学 来源:2012届江苏省兴化市九年级上学期期末四校联考数学卷 题型:解答题
(本题满分8分)如图,抛物线y=ax-5x+4a与x轴相交于点A、B,且经过点C(5,4).该抛物线顶点为P.
【小题1】⑴求a的值和该抛物线顶点P的坐标.
【小题2】⑵求DPAB的面积;
【小题3】⑶若将该抛物线先向左平移4个单位,再向上平移2个单位,求出平移后抛物线的解析式.
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科目:初中数学 来源:2011-2012学年江苏省兴化市九年级上学期期末四校联考数学卷 题型:解答题
(本题满分8分)如图,抛物线y=ax-5x+4a与x轴相交于点A、B,且经过点C(5,4).该抛物线顶点为P.
1.⑴求a的值和该抛物线顶点P的坐标.
2.⑵求DPAB的面积;
3.⑶若将该抛物线先向左平移4个单位,再向上平移2个单位,求出平移后抛物线的解析式.
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