Question

如图，在⊙O中，直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，点F在AC上从A点向C点运动（点A、C除外），AF与DC的延长线相交于点M．
（1）求证：△AFD∽△CFM；
（2）点F在运动中是否存在一个位置使△FMD为等腰三角形？若存在，给予证明；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：∵AB是直径，CD是弦，CD⊥AB，
∴=．
∴∠ADC=∠AFD．
又∵四边形AFCD内接于⊙O，∠FCM=∠FAD，∠CFM=∠ADC，
∴∠AFD=∠CFM．
∴△AFD∽△CFM；

（2）存在，当点F运动到弧AC的中点时，△FMD为等腰三角形．
证明：当点F在AC中点时，∠ADF=∠CDF，
又由（1）△AFD∽△CFM，
∴∠M=∠ADF．
∴∠M=∠CDF．
∴FD=FM，即△FMD为等腰三角形．
分析：（1）证△AFD∽△CFM，需找出两组对应角相等；根据圆内接四边形的性质，易求得∠MCF=∠FAD，∠MFC=∠MDA．因此还需找出一组对应角相等．已知直径AB⊥CD，根据垂径定理知：弧AC=弧AD，可得∠MDA=∠MFC，即∠MFC=∠AFD，由此得证；
（2）由（1）知∠M=∠ADF，要使△FMD为等腰三角形，则必须有∠M=∠FDC，因此只要∠FDC=∠ADF即可，这就要求F必须运动到弧AC的中点．
点评：解此题的关键是把点的运动抽象到相似三角形中来考虑，培养同学的推理能力，难易程度适中．