Question

16．已知：如图，分别以BM、CM为边，向△BMC形外作等边三角形ABM、CDM，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA中点．
（1）猜测四边形EFGH的形状；
（2）证明你的猜想；
（3）三角形BMC形状的改变是否对上述结论有影响？

Answer 1

分析 （1）由题意可猜测四边形EFGH是菱形；
（2）首先连接AC，BD，易证得△AMC≌△BMD（SAS），即可得AC=BD，又由E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA中点，则可证得EF=FG=GH=EH，即可得四边形EFGH是菱形；
（3）由（2）得：△BMC形状的改变对上述结论没有影响．

解答 （1）解：四边形EFGH是菱形；

（2）证明：连接AC，BD，
∵△ABM和△CDM是等边三角形，
∴AM=BM，CM=DM，∠AMB=∠CMD=60°，
∴∠AMC=∠BMD，
在△AMC和△BMD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AM=BM}\\{∠AMC=∠BMD}\\{CM=DM}\end{array}\right.$，
∴△AMC≌△BMD（SAS），
∴AC=BD，
∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA中点，
∴EF=GH=$\frac{1}{2}$AC，EH=FG=$\frac{1}{2}$BD，
∴EF=FG=GH=EH，
∴四边形EFGH是菱形；

（3）解：△BMC形状的改变对上述结论没有影响．

点评 此题考查了菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．