Question

3．已知抛物线y=x²-2mx+m²+m-1（m是常数）的顶点为P，直线l：y=x-1．
（1）求证：点P在直线l上；
（2）当m=-3时，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，与直线l的另一个交点为Q，M是x轴下方抛物线上的一点，∠ACM=∠PAQ（如图），求点M的坐标；
（3）若以抛物线和直线l的两个交点及坐标原点为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的m的值．

Answer 1

分析 （1）利用配方法得到y=（x-m）²+m-1，点P（m，m-1），然后根据一次函数图象上点的坐标特征判断点P在直线l上；
（2）当m=-3时，抛物线解析式为y=x²+6x+5，根据抛物线与x轴的交点问题求出A（-5，0），易得C（0，5），通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+6x+5}\\{y=x-1}\end{array}\right.$得P（-3，-4），Q（-2，-3），作ME⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，如图，证明Rt△CME∽Rt△PAF，利用相似得$\frac{ME}{AF}$=$\frac{CE}{PF}$，设M（x，x²+6x+5），则$\frac{-x}{2}$=$\frac{-{x}^{2}-6x}{4}$，解得x₁=0（舍去），x₂=-4，于是得到点M的坐标为（-4，-3）；
（3）通过解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+m-1}\\{y=x-1}\end{array}\right.$得P（m，m-1），Q（m+1，m），利用两点间的距离公式得到PQ²=2，OQ²=2m²+2m+1，OP²=2m²-2m+1，然后分类讨论：当PQ=OQ时，2m²+2m+1=2；当PQ=OP时，2m²-2m+1=2；当OP=OQ时，2m²+2m+1=2m²-2m+1，再分别解关于m的方程求出m即可．

解答 （1）证明：∵y=x²-2mx+m²+m-1=（x-m）²+m-1，
∴点P的坐标为（m，m-1），
∵当x=m时，y=x-1=m-1，
∴点P在直线l上；
（2）解：当m=-3时，抛物线解析式为y=x²+6x+5，
当y=0时，x²+6x+5=0，解得x₁=-1，x₂=-5，则A（-5，0），
当x=0时，y=x²+6x+5=5，则C（0，5），
可得解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+6x+5}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=-3}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-2}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
则P（-3，-4），Q（-2，-3），
作ME⊥y轴于E，PF⊥x轴于F，QG⊥x轴于G，如图，
∵OA=OC=5，
∴△OAC为等腰直角三角形，
∴∠ACO=45°，
∴∠MCE=45°-∠ACM，
∵QG=3，OG=2，
∴AG=OA-OG=3=QG，
∴△AQG为等腰直角三角形，
∴∠QAG=45°，
∵∠APF=90°-∠PAF=90°-（∠PAQ+45°）=45°-∠PAQ，
∵∠ACM=∠PAQ，
∴∠APF=∠MCE，
∴Rt△CME∽Rt△PAF，
∴$\frac{ME}{AF}$=$\frac{CE}{PF}$，
设M（x，x²+6x+5），
∴ME=-x，CE=5-（x²+6x+5）=-x²-6x，
∴$\frac{-x}{2}$=$\frac{-{x}^{2}-6x}{4}$，
整理得x²+4x=0，解得x₁=0（舍去），x₂=-4，
∴点M的坐标为（-4，-3）；
（3）解：解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}-2mx+{m}^{2}+m-1}\\{y=x-1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=m}\\{y=m-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=m+1}\\{y=m}\end{array}\right.$，则P（m，m-1），Q（m+1，m），
∴PQ²=（m+1-m）²+（m-m+1）²=2，OQ²=（m+1）²+m²=2m²+2m+1，OP²=m²+（m-1）²=2m²-2m+1，
当PQ=OQ时，2m²+2m+1=2，解得m₁=$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$，m₂=$\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$；
当PQ=OP时，2m²-2m+1=2，解得m₁=$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，m₂=$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$；
当OP=OQ时，2m²+2m+1=2m²-2m+1，解得m=0，
综上所述，m的值为$\frac{-1+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{-1-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{3}}{2}$，0．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象和一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质，会求抛物线与直线的交点坐标；理解坐标与图形性质，会利用两点间的距离公式计算线段的长；会运用相似比计算线段的长；能运用分类讨论的思想解决数学问题．