Question

（2012•佛山）（1）按语句作图并回答：
作线段AC（AC=4），以A为圆心a为半径作圆，再以C为圆心b为半径作圆（a＜4，b＜4，圆A与圆C交于B、D两点），连接AB、BC、CD、DA．
若能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足什么条件？
（2）若a=2，b=3，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）根据题意画出图形，只有两圆相交，才能得出四边形，即可得出答案；
（2）连接BD，根据相交两圆的性质得出DB⊥AC，BE=DE，设CE=a，则AE=4-a，根据勾股定理得出关于a的方程，求出a，根据三角形的面积公式求出即可．

解答：（1）解：
能作出满足要求的四边形ABCD，则a、b应满足的条件是a＜4，b＜4，4＜a+b＜8且|a-b|＜4．

（2）解：连接BD，交AC于E，
∵⊙A与⊙C交于B、D，
∴AC⊥DB，BE=DE，
设CE=x，则AE=4-x，
∵由勾股定理得：BE²=3²-x²=2²-（4-x）²，
解得：x=

21

8

，
∴BE=

32-( 21 8 )2

=

3 15

8

，
则四边形ABCD的面积是2×

1

2

×AC×BE=4×

3 15

8

=

3 15

2

，
答：四边形ABCD的面积是

3 15

2

．

点评：本题考查了作图-复杂作图，相交两圆的性质，勾股定理的应用，通过做此题培养了学生的动手操作能力和计算能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．