Question

【题目】阅读下面材料

小胖同学遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，点D在BC上，点F是CA延长线上的点，连接DF交AB于G．过点D作DE⊥AC，垂足为E．若∠AGD＝2∠C，DF＝AB，求的值．

小胖通过计算角度发现∠BGD＝2∠CDE，于是作出点C关于DE的对称点C′，使得∠CDC′＝∠BGD，进而得出∠C′DF＝∠B，接着截取BK＝DC，得出一组全等三角形．

（1）请沿着小胖的思路继续完成此题的解答过程：

（2）参考小胖的解题方法完成下面问题：

如图3，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，BD＝2CD，∠BAD＝∠CED，探索AE、CE、CD三条线段的数量关系．

Answer 1

【答案】（1）；（2）AE＝CE﹣CD．

【解析】

（1）根据SAS可证明△ABK≌△FDC'，得出AK=FC'，∠AKB=∠FC'D，证明CE=C′E，则可求出；

（2）作∠BDF=∠B交AB于F点，延长BC到G点，使得CG=CA，证明△CED∽△FAD，得出比例线段，设CD=x，BD=2x，CE=y，可得出DG=2y，则CG=AC=DG=2y-x，可得出AE=y-x=CE-CD．

（1）∵BK＝CD＝C′D，∠C′DF＝∠B，DF＝AB，

∴△ABK≌△FDC'（SAS），

∴AK＝FC'，∠AKB＝∠FC'D，

∴∠C＝∠AKC，

∴AK＝AC＝FC′，

∵DE⊥CC'，且DC＝DC'，

∴CE＝C′E，

∴AF＝2CE，

∴；

（2）AE＝CE﹣CD．

如图，作∠BDF＝∠B交AB于F点，延长BC到G点，使得CG＝CA，

∴DF＝FB，

∴∠FDB＝∠B，

∴∠G＝∠CAG＝∠B＝∠FDB，

∴DF∥AG，∠ECD＝2∠B，

∴∠AFD＝∠ECD，∠CED＝∠FAD，

∴△CED∽△FAD，

∴，

设CD＝x，BD＝2x，CE＝y，

∴，

∴，

∴DG＝2y，

∴CG＝AC＝DG﹣CD＝2y﹣x，

∴AE＝AC﹣CE＝y﹣x＝CE﹣CD．