Question

17．如图1，抛物线y=-x²+6x与x轴交于O、A两点，点P在抛物线上，过点P的直线y=x+m与抛物线的对称轴交于点Q．
（1）这条抛物线的对称轴是：直线x=3，直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45度；
（2）若S_△POQ：S_△PAQ=1：2，求此时的点P坐标；
（3）如图2，点M（1，5）在抛物线上，以点M为直角顶点作Rt△MEF，且E、F均在抛物线上，则所有满足条件的直线EF必然经过定点N，求点N坐标．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的对称轴公式计算即可，根据直线y=x+m与直线y=x平行可得结论．
（2）如图1中，作直线y=x交对称轴于H，连接AH，延长AH交直线PQ于M，作ON⊥PQ于N则四边形ONMH是矩形．△AOH是等腰直角三角形．由S_△POQ：S_△PAQ=1：2，推出AM=2ON，ON=MH=AH，由点A（6，0），H（3，3），推出点M（0，6），再求出直线PQ，利用方程组即可解决问题．
（3）如图2中，过点M作GH∥OA，过点E作EG⊥GH于G，过点F作FH⊥GH于H．由△EMG∽△MFH，得$\frac{GM}{FH}$=$\frac{GE}{MH}$，设E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），直线EF的解析式为y=mx+n，得$\frac{1-{x}_{1}}{5-{y}_{2}}$=$\frac{5-{y}_{1}}{{x}_{2}-1}$，由y₁=-x₁²+6x₁，y₂=-x₂²+6x₂代入上式整理得到x₁x₂-5（x₁+x₂）+26=0，列出方程组，利用根与系数关系求出m、n的关系即可解决问题．

解答 解：（1）抛物线y=-x²+6x的对称轴x=-$\frac{6}{2×（-1）}$=3，
∵直线PQ：y=x+m与直线y=x平行，
直线y=x是一、三象限的平分线，
∴直线PQ与x轴所夹锐角的度数是45°，
故答案为x=3，45．

（2）如图1中，作直线y=x交对称轴于H，连接AH，延长AH交直线PQ于M，作ON⊥PQ于N则四边形ONMH是矩形．△AOH是等腰直角三角形．

∵S_△POQ：S_△PAQ=1：2，
∴AM=2ON，
∴ON=MH=AH，
∵点A（6，0），H（3，3），
∴点M（0，6），
∴直线PQ的解析式为y=x+6，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x+6}\\{y=-{x}^{2}+6x}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴点P坐标（2，4）或（3，3）．

（3）如图2中，过点M作GH∥OA，过点E作EG⊥GH于G，过点F作FH⊥GH于H．

∵∠EMF=90°，
∴∠EMG+∠FMH=90°，
∵∠FMH+∠MFH=90°
∴∠EMG=∠MFH，∵∠G=∠H=90°，
∴△EMG∽△MFH，
∴$\frac{GM}{FH}$=$\frac{GE}{MH}$，设E（x₁，y₁）、F（x₂，y₂），直线EF的解析式为y=mx+n，
∴$\frac{1-{x}_{1}}{5-{y}_{2}}$=$\frac{5-{y}_{1}}{{x}_{2}-1}$，
∵y₁=-x₁²+6x₁，y₂=-x₂²+6x₂代入上式整理得到x₁x₂-5（x₁+x₂）+26=0
由$\left\{\begin{array}{l}{y=mx+n}\\{y=-{x}^{2}+6x}\end{array}\right.$消去y得到x²+（m-6）x+n=0，
∴x₁+x₂=6-m，x₁x₂=n，
∴n-5（6-m）+26=0，
∴n=4-5m，
∴直线EF解析式为y=mx+4-5m=（x-5）m+4，
当x=5时，y=4，
∴直线EF过定点N（5，4）．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数、矩形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、根与系数关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形或特殊四边形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．