分析 根据an-an-1=$\frac{1}{3}$(an-1-an-2),依次写出相邻两项之差,再左右两边同时累加得出an-a1=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$,令$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$=A,A-$\frac{1}{3}$A得出A的值,将其代入an-a1中,表示出an即可.
解答 解:∵an-an-1=$\frac{1}{3}$(an-1-an-2),
∴有an-an-1=$\frac{1}{3}({a}_{n-1}-{a}_{n-2})$=($\frac{1}{3}$)n-2(a2-a1),an-1-an-2=$\frac{1}{3}({a}_{n-2}-{a}_{n-3})$=($\frac{1}{3}$)n-3(a2-a1),…,a3-a2=$\frac{1}{3}({a}_{2}-{a}_{1})$,a2-a1=$\frac{1}{9}$=$(\frac{1}{3})^{2}$,
左右两边同时累加得an-a1=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$,
令$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$=A,则$\frac{1}{3}$A=$\frac{1}{{3}^{3}}$+$\frac{1}{{3}^{4}}$…+$\frac{1}{{3}^{n+1}}$,
A-$\frac{1}{3}$A=$\frac{1}{{3}^{2}}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}}$,解得:A=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$.
∴an=A+a1=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$+$\frac{4}{3}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$.
故答案为:$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$.
点评 本题考查了规律型中得数字的变化类,解题的关键是找出an-a1=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$.本题属于中档题,难度不大,因为初中没有学过等比数列的求和公式,故此处用错位相减法来推导出结论.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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