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(2003•南通)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=4,BD=3,AD=5,以AB所在直线为x轴.以B点为原点建立平面直角坐标系.将平行四边形ABCD绕B点逆时针方向旋转,使C点落在y轴的正半轴上,C、D、A三点旋转后的位置分别是P、Q和T三点.
(1)求证:点D在y轴上;
(2)若直线y=kx+b经过P、Q两点,求直线PQ的解析式;
(3)将平行四边形PQTB沿y轴的正半轴向上平行移动,得平行四边形P′Q′T′B′,Q、T、B依次与点P′、Q′、T′、B′对应).设BB′=m(0<m≤3).平行四边形P′Q′T′B′与原平行四边形ABCD重叠部分的面积为S,求S关于m的函数关系式.

【答案】分析:(1)根据AB、BD、AD的长,不难得出三角形ABD为直角三角形.由于A、B在x轴上,且B为原点,因此D必在y轴上;
(2)点P的坐标易求出,关键是求出Q点的坐标,可过Q作QH⊥y轴于H,那么可在直角三角形PQH中,根据PQ的长和∠QPB的三角函数值(∠QPB=∠DAB),求出PH,QH的长,即可得出Q点的坐标,然后用待定系数法求出直线PQ的解析式.
(3)当0<m≤3,B'在线段BD上,此时重合部分是个五边形.设TB'与x轴的交点为M,AD与Q'T的交点为F,那么重合部分的面积可用梯形EFDB的面积-三角形EBB'的面积来求得.
梯形的上底可用AE的长和∠DAB的正切值求出(AE的长为A点横坐标绝对值与Q点横坐标绝对值的差),同理可在直角三角形BB′M中求出BM的长,由此可求出S、m的函数关系式.
解答:(1)证明:∵AB2+BD2=32+42=52=AD2
∴△ABD为直角三角形,且AB⊥BD.
由于x轴⊥y轴,AB在x轴上,且B为原点,因此点D在y轴上.

(2)解:显然,P点坐标为(0,5),且PQ=DC=4,∠QPB=∠DAB.
过Q点作QH⊥BD,垂足为H.
在Rt△PQH中,QH=PQ•sin∠QPH=PQ•sin∠DAB=4×=
PH=PQ•cos∠QPH=PQ•cos∠DAB=4×=
BH=PB-PH=5-=
∴Q(-).
∵直线过P、Q两点.
,解得
∴直线PQ的解析式为y=x+5.

(3)解:设B′T′与AB交于点M,Q′T′交AB于点E,交AD于点F.
∵0<m≤3,∴S=S梯形BDFE-S△BB′M
由(2)可知,BE=QH=
∴AE=AB-BE=4-=
∴EF=AE•tan∠DAB=×=
∴S梯形BDFE=(EF+BD)•BE=×(+3)×=
又ET′∥BB′,∴∠MB′B=∠T′=∠DAB.
∴BM=BB′•tan∠MBB=m•tan∠DAB=m.
∴S△BB'M=BM•BB′=×m×m=m2
∴S=-m2(0<m≤3).
点评:本题主要考查了勾股定理、平行四边形的性质、图形的翻转变换、图形面积的求法以及一次函数、二次函数的应用等知识点.综合性强,难度较大.
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