Question

（2010•德州）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC中点，AE平分∠BAD交BC于点E，点O是AB上一点，⊙O过A、E两点，交AD于点G，交AB于点F．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）当∠BAC=120°时，则∠EFG=

30

度．

Answer 1

分析：（1）连接OE，证OE⊥BC即可．因为AD⊥BC，所以转证OE∥AD．由AE平分∠BAD，OA=OE易得此结论．
（2）∠EFG=∠GAE=∠EAO=∠AEO．根据已知条件易得∠B=30°，∠EOB=60°．从而求解．

解答：证明：（1）连接OE．                          （1分）
∵AB=AC且D是BC中点，
∴AD⊥BC．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE．                              （2分）
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA．
∴∠OEA=∠DAE．
∴OE∥AD．
∴OE⊥BC．
∴BC是⊙O的切线．                             （3分）

（2）∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=30°．                              （1分）
∴∠EOB=60°．                                （1分）
∴∠EAO=∠EAG=30°．                          （1分）
∴∠EFG=30°．                                （1分）

点评：此题考查了切线的判定、等腰三角形性质等知识点，难度中等．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．