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    精英家教网在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm．
    （1）求BC的长；
    （2）点P为斜边BC上的一个动点（P与B、C不重合），PC=xcm，以点P为中心把△ABC按逆时针方向旋转90°至△DEF．
    ①当点P在如图所示的位置时，DF交AC、BC分别于点N、Q，EF交AC于点M，求MF的长；
    ②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为ycm2，求出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．
    分析：（1）因为ABC为直角三角形，由两条边的长结合勾股定理求解即可．
    （2）①由条件EF⊥BC于P，∠MPC=90°得出△PMC∽△ABC，根据比例关系求出MP的长，即可得出FM的长．
    ②先根据题意结合图形求出x的取值范围，得出当x=
    20
    7
    、
    16
    5
    时为分界点，当x在不同区间时，面积有不同的求解方法，分不同的区间求解即可．
    解答：解：（1）∵在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，
    ∴根据勾股定理得BC=5cm．

    （2）①∵绕点P旋转90°，EF⊥BC于P，∠MPC=90°精英家教网
    又∠C=∠C，
    ∴△PMC∽△ABC，
    ∴
    MP
    AB
    =
    PC
    AC
    ，
    ∴MP=
    3x
    4
    ，
    ∵PC=PM=x，
    ∴FM=
    x
    4
    ．
    ②当A与N重合时．
    由PC=x可得MC=
    5x
    4
    ，AM=4-
    5x
    4

    △FNM∽△CPM，
    解得x=
    20
    7
    ；精英家教网
    当A与M重合时，容易求得x=
    16
    5
    ，
    i）当0＜x≤
    20
    7
    时
    y=S△FPQ-S△FNM=S△CPM-S△FNM=
    9x2
    25
    ；
    ii）当
    20
    7
    ＜x≤
    16
    5
    时
    y=S△ABC-S△CPM=6-
    3x2
    8
    ；
    iii）当
    16
    5
    ＜x＜5时，
    y=S△MPB=
    2
    3
    (5-x)2    ．
    点评：本题考查了二次函数的运用，解题时要注意结合图形，分情况解题，不要漏掉一种情况．
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    4
    ．

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    已知：在直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=4，cosA=
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    ，那么AB=
     
    ．

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    （1）设AQ=x，△APQ面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出它的定义域；
    （2）若以点P为圆心，PC为半径的圆与边AB相切，求AQ的长；
    （3）是否存在点Q，使得△AQM、△APQ和△APM这三个三角形中一定有两个三角形相似？若存在请求出AQ的长；若不存在请说明理由．

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    在直角三角形ABC中，∠C=90°，三内角∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，若a=15，c=25，则b=
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    20
    ．

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