Question

如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”。如4=2²－0²，12=4²－2²，20=6²－4²，因此，4，12，20这三个数都是神秘数。

（1）       28和2012这两个数是神秘数吗？为什么？

（2）       设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负数），由这两个连续偶数构成的神秘数是4的倍数吗？为什么？

（3）       两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘吗？为什么？

Answer 1

（1）∵28=8²-6²    2012=504²-502²

          ∴28和2012这两个数都是神秘数。

   （2）设这两个连续偶数构成的神秘数为x

        ∴x=(2k+2)-(2k)²

           =4(2k+1)

        ∴这两个连续偶数构成的神秘数是4的倍数。

    （3）由（2）可得，神秘数可表示为4(2k+1)，因为(2k+1)是奇数，因此神秘数是4的倍数，但一定不是8的倍数。

      设定两个奇数为2n+1和2n-1，则(2n+1)²－(2n-1)²=8n.

        ∴两个连续奇数的平方差是8的倍数

        ∴两个连续奇数的平方差不是神秘数。