Question

13．完成下列各题：
（1）如图，已知直线AB与⊙O相切于点C，且AC=BC，求证：OA=OB．
（2）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=120°，AB=3，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等来证明；
（2）根据矩形性质得出AC=BD，OA=OB，求出∠AOB=60°，得出△AOB是等边三角形，求出∠ADB=30°，得出AC=BD=2AB=6cm即可．

解答 （1）证明：连接OC，
∵直线AB与⊙O相切于点C，
∴OC⊥AB，
又∵AC=BC，
∴OC垂直平分AB，
∴OA=OB；

（2）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=$\frac{1}{2}$AC，BO=DO=$\frac{1}{2}$BD，∠BAD=90°，
∴OA=OB，
∵∠AOD=120°，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ABO=60°，∠ADB=30°，
∴AC=BD=2AB=6cm．

点评 本题主要考查了切线的性质，线段垂直平分线的性质，矩形的性质、等边三角形的判定与性质，（1）熟知切线的性质，（2）证明△AOB是等边三角形是解决问题的关键．