分析 (1)连结OE.由AC=AC,OE=OC可证明∠OEC=∠ABC,从而可证得OE∥AB,由切线的性质可知∠OEF=90°,然后由平行线的性质可证明∠AFE=90°;
(2)连结DE、AE.先由直径所对的圆周角等于90°可证明AE⊥BC,由等腰三角三线合一的性质可求得BC的长,然后依据圆内接四边形的性质证明∠BED=∠BAC,于是可得得到△BED∽△BAC,接下来由相似三角形对应边成比例可求得AB的长,从而得到AC的长.
解答 解:(1)证明:如图1所示:连结OE.
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB.
又∵OE=OC,
∴∠OEC=∠ACB,
∴∠OEC=∠ABC.
∴OE∥AB.
∵EF与⊙O 相切,
∴OE⊥EF.
∴∠OEF=90°.
∵OE∥AB,
∴∠AFE=90°.
∴OE⊥AB.
(2)如图2所示:连结DE、AE.
∵四边形ACED为⊙O的内接四边形,
∴∠DEC+∠BAC=180°.
又∵∠DEB+∠DEC=180°,
∴∠BED=∠BAC.
又∵∠B=∠B,
∴△BED∽△BAC.
∴$\frac{BE}{AB}=\frac{BD}{BC}$.
∵AC为⊙O的直径,
∴∠AEC=90°.
∵在△ABC中,AB=AC,
∴BE=CE=3,
∴BC=6.
∴$\frac{3}{AB}=\frac{2}{6}$,
∴AB=9.即AC=AB=9.
点评 本题主要考查的是切线的性质、圆内接四边形的性质、圆周角定理的应用,相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质,证得△BED∽△BAC是解题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{\sqrt{10}}{10}$ | C. | $\frac{\sqrt{5}}{5}$ | D. | $\frac{3\sqrt{10}}{10}$ |
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科目:初中数学 来源: 题型:解答题
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A. | 67 | B. | 53 | C. | 50 | D. | 49 |
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