Question

【题目】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的图象与x轴的交点的横坐标分别为﹣1、3，则下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③3a+2c＞0；④对于任意x均有ax2﹣a+bx﹣b≥0，正确个数有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

Answer 1

【答案】B

【解析】

由抛物线开口方向得到a＞0，利用抛物线与x轴的交点问题和抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x＝1，即﹣＝1，所以b＝﹣2a＜0，利用抛物线与y轴的交点位置得到c＜0，则可对①进行判断；利用b＝﹣2a可对②进行判断；由于x＝﹣1时，y＝0，所以a﹣b+c＝0，则c＝﹣3a，3a+2c＝﹣3a＜0，于是可对③进行判断；根据二次函数性质，x＝1时，y的值最小，所以a+b+c≤ax2+bx+c，于是可对④进行判断．

解：∵抛物线开口向上，

∴a＞0，

∵抛物线与x轴的交点的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），

∴抛物线的对称轴为直线x＝1，即﹣＝1，

∴b＝﹣2a＜0，

∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，

∴c＜0，

∴abc＞0，所以①错误；

∵b＝﹣2a，

∴2a+b＝0，所以②正确；

∵x＝﹣1时，y＝0，

∴a﹣b+c＝0，即a+2a+c＝0，

∴c＝﹣3a，

∴3a+2c＝3a﹣6a＝﹣3a＜0，所以③错误；

∵x＝1时，y的值最小，

∴对于任意x，a+b+c≤ax2+bx+c，

即ax2﹣a+bx﹣b≥0，所以④正确．

故选：B．