Question

如图，在直角梯形ACBE中，BC∥AE，AC⊥AE，∠CAB=30°，AB=AE，作CA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于D．
（1）求证：BD=CE；
（2）连接DE交AB于F，求证：F为DE中点．

Answer 1

考点：直角梯形,全等三角形的判定与性质,线段垂直平分线的性质,等边三角形的判定与性质,含30度角的直角三角形,三角形中位线定理

专题：证明题,压轴题

分析：（1）连接CD，根据直角求出∠BAE=∠DAC=60°，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得DA=DC，然后判断出△ADC和△BAE是等边三角形，根据等边三角形的性质可得DA=CA，然后利用“边角边”证明△DAB和△CAE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；
（2）过点E作EG⊥AB于G，根据“角角边”证明△AEG和△BAC全等，根据全等三角形对应边相等可得EG=AC=AD，再利用“角角边”证明△DAF和△EGF全等，根据全等三角形对应边相等可得DF=EF，从而得证．

解答：（1）证明：连接CD，∵∠CAB=30°，AC⊥AE，AD⊥AB，
∴∠BAE=∠DAC=90°-30°=60°，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∴△ADC是等边三角形，
∴DA=CA，
在△DAB和△CAE中，

DA=CA ∠DAB=∠CAE=90° AB=AE

，
∴△DAB≌△CAE（SAS），
∴BD=CE；

（2）证明：过点E作EG⊥AB于G，
则∠AEG=90°-∠BAE=90°-60°=30°，
∴∠AEG=∠CAB=30°，
在△AEG和△BAC中，

∠AEG=∠CAB ∠ACB=∠AGE=90° AB=AE

，
∴△AEG≌△BAC（AAS），
∴EG=AC，
∴EG=AC=AD，
在△DAF和△EGF中，

∠DAF=∠EGF=90° ∠AFD=∠GFE(对顶角相等) EG=AD

，
∴△DAF≌△EGF（AAS），
∴DF=EF，
∴F为DE中点．

点评：本题考查了直角梯形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，综合性较强，多次证明三角形全等是本题最大的特点．