Question

4．二次函数y=x²+bx+c顶点坐标为（2．-1）．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若y=x²+bx+c的图象与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于C点，P为线段AB上一动点，过P作PE∥AC交BC于E，连接PC，当△PEC的面积最大时，求点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用对称轴x=-$\frac{b}{2a}$，求出b，再把点（2，-1）代入解析式求出c即可．
（2）设点P（m，0），求出点E的纵坐标，根据∴S_△PCE=S_△ABC-S_△ACP-S_△PEB构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．

解答 解：（1）由已知得：$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{b}{2}=2}\\{-1=4+2b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=-4}\\{c=3}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为y=x²-4x+3．

（2）如图，

设点P坐标为（m，0），
∵A（1，0），B（3，0），C（0，3），
∴OC=OB=3，OA=1，∠OBC=45°，
∵PE∥CA，
∴$\frac{BE}{BC}$=$\frac{PB}{PA}$，
∴$\frac{BE}{3\sqrt{2}}$=$\frac{3-m}{2}$，
∴BE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$（3-m）．
∴点E的纵坐标为$\frac{3}{2}$（3-m），
∴S_△PCE=S_△ABC-S_△ACP-S_△PEB=$\frac{1}{2}$×2×3-$\frac{1}{2}$×（m-1）×3-$\frac{1}{2}$（3-m）×$\frac{3}{2}$（3-m）=-$\frac{3}{4}$m²+3m-$\frac{9}{4}$=-$\frac{3}{4}$（m-2）²+$\frac{3}{4}$，
∴当m=2时，△PCE的面积最大，
此时点P坐标（2，0）．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的最值问题，解题的关键是灵活应用待定系数法确定函数解析式，学会构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型．