Question

6．定义：若抛物线L₂：y=mx²+nx（m≠0）与抛物线L₁：y=ax²+bx（a≠0）的开口大小相同，方向相反，且抛物线L₂经过L₁的顶点，我们称抛物线L₂为L₁的“友好抛物线”．
（1）若L₁的表达式为y=x²-2x，求L₁的“友好抛物线”的表达式；
（2）已知抛物线L₂：y=mx²+nx为L₁：y=ax²+bx的“友好抛物线”．求证：抛物线L₁也是L₂的“友好抛物线”；
（3）平面上有点P（1，0），Q（3，0），抛物线L₂：y=mx²+nx为L₁：y=ax²的“友好抛物线”，且抛物线L₂的顶点在第一象限，纵坐标为2，当抛物线L₂与线段PQ没有公共点时，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设L₁的“友好抛物线”的表达式为：y=-x²+bx，根据L₁：y=x²-2x可得其顶点坐标，代入y=-x²+bx可得b的值，进而得出L₁的“友好抛物线”；
（2）先求出抛物线L₁和L₂的顶点坐标，根据L₂过L₁ 的顶点，得出bn=0，进而得到抛物线L₁经过L₂的顶点，再根据L₂与L₁的开口大小相同，方向相反，即可得出抛物线L₁也是L₂的“友好抛物线”；
（3）根据“友好抛物线”的定义，得到m=-a，进而得到L₂的顶点为（$\frac{n}{2a}$，$\frac{{n}^{2}}{4a}$）．根据抛物线L₂的顶点在第一象限，纵坐标为2，可得a=$\frac{1}{8}$n²＞0．再根据L₂经过点P（1，0），得到a=8．根据L₂经过点Q（3，0），得到a=$\frac{8}{9}$．进而得出抛物线L₂与线段PQ没有公共点时，a的取值范围．

解答 解：（1）依题意，可设L₁的“友好抛物线”的表达式为：y=-x²+bx，
∵L₁：y=x²-2x=（x-1）²-1，
∴L₁的顶点为（1，-1），
∵y=-x²+bx过点（1，-1），
∴-1=-1²+b，即b=0．
∴L₁的“友好抛物线”为：y=-x²．

（2）L₂：y=mx²+nx的顶点为（-$\frac{n}{2m}$，-$\frac{{n}^{2}}{4m}$），L₁：y=ax²+bx的顶点为（-$\frac{b}{2a}$，-$\frac{{b}^{2}}{4a}$），
∵L₂为L₁ 的“友好抛物线”，
∴m=-a．
∵L₂过L₁ 的顶点，
∴-$\frac{{b}^{2}}{4a}$=m×（-$\frac{b}{2a}$）²+n×（-$\frac{b}{2a}$）．
化简得：bn=0．
把x=-$\frac{n}{2m}$代入y=ax²+bx，得
y═a×（-$\frac{n}{2m}$）²+b×（-$\frac{n}{2m}$）=-$\frac{{n}^{2}}{4m}$-$\frac{bn}{2m}$=-$\frac{{n}^{2}}{4m}$．
∴抛物线L₁经过L₂的顶点．
又∵L₂与L₁的开口大小相同，方向相反，
∴抛物线L₁也是L₂的“友好抛物线”．

（3）∵抛物线L₂：y=mx²+nx为L₁：y=ax²的“友好抛物线”，
∴m=-a．
∴L₂：y=-ax²+nx的顶点为（$\frac{n}{2a}$，$\frac{{n}^{2}}{4a}$）．
∵抛物线L₂的顶点在第一象限，纵坐标为2，
∴$\frac{{n}^{2}}{4a}$=2，即a=$\frac{1}{8}$n²＞0．
当L₂经过点P（1，0）时，-a+n=0，
∴a=8．
当L₂经过点Q（3，0）时，-9a+3n=0，
∴a=$\frac{8}{9}$．
∴抛物线L₂与线段PQ没有公共点时，0＜a＜$\frac{8}{9}$或a＞8．

点评 本题属于二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质的运用，解题时根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．