Question

如图1，Rt△ABC≌Rt△EDF，∠ACB=∠F=90°，∠A=∠E=30°，△EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点M，K，设=m．
（1）观察：如图2，当∠CDF=60°时，m的值等于______；如图3，当∠CDF=30°时，m的值等于______；
（2）如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，求证：m＞1．
（3）如果MK²+CK²=AM²，则∠CDF=______度，m=______（直接写出结论）

Answer 1

（1）解：当∠CDF=60°时，如图2，
∵∠ACB=∠F=90°，∠CAD=30°，D为AB的中点，
∴DC=DA=DB，
∴∠KCD=30°，
∴∠CKD=90°，
∴KA=KC，
而AM=0，
∴m==1；
当∠CDF=30°时，如图3，
∴KC=KD，∠MKD=30°+30°=60°，
∵∠MDK=60°，
∴△DMK为等边三角形，
∴MK=KD=MD，∠KMD=60°，
∵∠A=30°，
∴∠MDA=∠KMD-∠A=30°，
∴MA=MD，
∴MA=MK=KC，
∴m==2；

（2）证明：作∠ADP=α，DP=DK，如图1，
∵在△ADP和△CDK中，
，
∴△ADP≌△CDK（SAS），
∴AP=CK，
∵∠ADC=120°，∠MDK=60°，
∴∠ADM=120°-60°-α=60°-α，
∴∠MDP=60°-α+α=60°，
∵在△MDP和△MDK中，
，
∴△MDP≌△MDK（SAS），
∴PM=MK，
∵AM+AP＞PM，
∴AM+KC＞MK，
∴m＞1；

（3）解：如图1，由（2）得PM=MK，AP=CK，
∵MK²+CK²=AM²，
∴PM²+AP²=AM²，
∴∠APM=90°，
∵∠MAD=30°，∠DAP=∠DCK=30°，
∴∠MAP=60°，
∴∠AMP=30°，
∴AM=2AP，MP=AP，
∴AM=2CK，MP=CK，
∴m==；
∵△MDP≌△MDK，
∴∠KMD=∠PMD==75°，
∴∠MKD=180°-75°-60°=45°，
而∠MKD=∠KCD+∠CDK，
∴∠CDK=45°-30°=15°，即∠CDF=15°．
故答案为1，2；15；．
分析：（1）先根据直角三角形斜边上的中线性质得到△CDA是等腰三角形，再由∠CAD=30°，∠CDF=60°得到∠CKD=90°，则KA=KC，然后计算m的值；当∠CDF=30°时，
可得到KC=KD，∠MKD=30°+30°=60°，得到△DMK为等边三角形，所以MK=KD=MD，∠KMD=60°，再证出MD=MA，然后计算m的值；
（2）作∠ADP=α，DP=DK，则根据“SAS”得到△ADP≌△CDK，得到AP=CK，再计算出∠MDP=60°，则可根据“SAS”可得△MDP≌△MDK，则PM=MK，根据三角形三边的关系得到AM+AP＞PM，即AM+KC＞MK，于是可得到m＞1；
（3）由（2）得PM=MK，AP=CK，由MK²+CK²=AM²得到PM²+AP²=AM²，根据勾股定理的逆定理得∠APM=90°，由∠MAD=30°，∠DAP=∠DCK=30°可得∠MAP=60°，然后根据含30°的直角三角形三边的关系得到AM=2AP，MP=AP，即AM=2CK，MP=CK，则可计算出m的值；接着计算出∠KMD=∠PMD=75°，∠MKD=45°，然后利用三角形外角性质可计算出α的度数．
点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质、含30°的直角三角形三边的关系以及勾股定理的逆定理．