分析 (1)由平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°,得到平行四边形A′B′OC′,且点A的坐标是(0,4),可求得点A′的坐标,然后利用待定系数法即可求得经过点C、A、A′的抛物线的解析式;
(2)首先连接AA′,设直线AA′的解析式为:y=kx+b,利用待定系数法即可求得直线AA′的解析式,再设点M的坐标为:(x,-x2+3x+4),继而可得△AMA′的面积,继而求得答案;
(3)分别从BQ为边与BQ为对角线去分析求解即可求得答案.
解答 解:(1)∵平行四边形ABOC绕点O顺时针旋转90°,得到平行四边形A′B′OC′,且点A的坐标是(0,4),
∴点A′的坐标为:(4,0),
∵点A、C的坐标分别是(0,4)、(-1,0),抛物线经过点C、A、A′,
设抛物线的解析式为:y=ax2+bx+c,
∴$\left\{\begin{array}{l}{a-b+c=0}\\{c=4}\\{16a+4b+c=0}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=3}\\{c=4}\end{array}\right.$,
∴此抛物线的解析式为:y=-x2+3x+4;
(2)连接AA′,设直线AA′的解析式为:y=kx+b,
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{4k+b=0}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=4}\end{array}\right.$,
∴直线AA′的解析式为:y=-x+4,
设点M的坐标为:(x,-x2+3x+4),
则S△AMA′=$\frac{1}{2}$×4×[-x2+3x+4-(-x+4)]=-2x2+8x=-2(x-2)2+8,
∴当x=2时,△AMA′的面积最大,最大值S△AMA′=8,
∴M的坐标为:(2,6);
(3)设点P的坐标为(x,-x2+3x+4),当P,N,B,Q构成平行四边形时,
∵平行四边形ABOC中,点A、C的坐标分别是(0,4)、(-1,0),
∴点B的坐标为(1,4),
∵点Q坐标为(1,0),P为抛物线上一动点,N为x轴上的一动点,
①当BQ为边时,PN∥BQ,PN=BQ,
∵BQ=4,
∴-x2+3x+4=±4,
当-x2+3x+4=4时,解得:x1=0,x2=3,
∴P1(0,4),P2(3,4);
当-x2+3x+4=-4时,解得:x3=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$,x4=$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$,
∴P3($\frac{3+\sqrt{41}}{2}$,-4),P4($\frac{3-\sqrt{41}}{2}$,-4);
②当BQ为对角线时,BP∥QN,BP=QN,此时P与P1,P2重合;
综上可得:点P的坐标为:P1(0,4),P2(3,4),P3($\frac{3+\sqrt{41}}{2}$,-4),P4($\frac{3-\sqrt{41}}{2}$,-4);
如图2,当这个平行四边形为矩形时,点N的坐标为:(0,0)或(3,0).
点评 此题属于二次函数的综合题,考查了待定系数法求函数解析式的知识、平行四边形的性质以及三角形面积问题.掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键.
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日加工零件数 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
人数 | 2 | 6 | 5 | 4 | 3 |
A. | 5、6、5 | B. | 5、5、6 | C. | 6、5、6 | D. | 5、6、6 |
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A. | 4个 | B. | 3个 | C. | 2个 | D. | 1个 |
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