Question

【题目】如图，线段，为的中点，动点到点的距离是1，连接，线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连接，则线段长度的最大值是（ ）

A.2B.3C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

以M为坐标原点建立坐标系，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F，设点P的坐标为（x，y），则x2＋y2＝1．然后证明△ECP≌△FPB，由全等三角形的性质得到EC＝PF＝y，FB＝EP＝2x，从而得到点C（x＋y，y＋2x），再由勾股定理可求得AC＝，最后，依据当y＝1时，AC有最大值求解即可．

解：如图所示：以M为坐标原点建立坐标系，连接BC，过点C作CD⊥y轴，垂足为D，过点P作PE⊥DC，垂足为E，延长EP交x轴于点F．

∵AB＝4，M为AB的中点，
∴A（2，0），B（2，0），
设点P的坐标为（x，y），则x2＋y2＝1，
∵∠EPC＋∠BPF＝90°，∠EPC＋∠ECP＝90°，
∴∠ECP＝∠FPB，
由旋转的性质可知：PC＝PB，
在△ECP和△FPB中，

，
∴△ECP≌△FPB（AAS），
∴EC＝PF＝y，EP＝FB＝2x，
∴C（x＋y，y＋2x），

∴AC＝，

∵x2＋y2＝1，
∴AC＝，

∵1≤y≤1，
∴当y＝1时，AC有最大值，AC的最大值为，
故答案为：．