Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的直径，点C为圆上一点，点D在OC的延长线上，连接DA，

交BC的延长线于点E，使得∠DAC=∠B．

（1）求证：DA是⊙O切线；

（2）求证：△CED∽△ACD；

（3）若OA=1，sinD=，求AE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】分析：（1）由圆周角定理和已知条件求出AD⊥AB即可证明DA是⊙O切线；

（2）由∠DAC=∠DCE，∠D=∠D可知△DEC∽△DCA；

（3）由题意可知AO=1，OD=3，DC=2，由勾股定理可知AD=2，故此可得到DC2=DEAD，故此可求得DE的长，于是可求得AE的长．

详解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠B=90°．

∵∠DAC=∠B，∴∠CAB+∠DAC=90°，∴AD⊥AB．

∵OA是⊙O半径，∴DA为⊙O的切线；

（2）∵OB=OC，∴∠OCB=∠B．

∵∠DCE=∠OCB，∴∠DCE=∠B．

∵∠DAC=∠B，∴∠DAC=∠DCE．

∵∠D=∠D，∴△CED∽△ACD；

（3）在Rt△AOD中，OA=1，sinD=，∴OD==3，∴CD=OD﹣OC=2．

∵AD==2．

又∵△CED∽△ACD，∴，∴DE==，

∴AE=AD﹣DE=2﹣=．