Question

如图，抛物线E：y=ax²（a＞0）沿x轴正方向平移2个单位得到抛物线F，抛物线F的顶点为B，抛物线F交抛物线E于点A，点C是线段OB上一动点．
（1）求点A的坐标；
（2）求证：△AOB是等腰三角形；
（3）当a为何值时，直线AC把△AOB分割成的两个三角形均为等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）由于抛物线E：y=ax²（a＞0）沿x轴正方向平移2个单位得到抛物线F，所以根据平移规律得到F的解析式为y=a（x-2）²，联立两个抛物线的解析式解方程组即可得到A的坐标；
（2）过点A作AD⊥OB于D，根据平移可以得到点B的坐标为（0，2），由此得到OB和OD的长度，由此即可得到点D是OB的中点，最后利用等腰三角形的判定即可证明△AOB是等腰三角形；
（3）设∠AOB=∠ABO=x°，当AC=CB=OC时，满足条件如图①所示，则4x=180，解方程即可解决问题；
当AC=OC，AB=CB时，满足条件如图②所示，则5x=180，解方程解决问题．

解答：解：（1）y=ax²平移后得到抛物线F的解析式为y=a（x-2）²，
∴

y=ax2 y=a(x-2)2

解得：

x=1 y=a

，
点A的坐标为（1，a）；

证明：（2）过点A作AD⊥OB于D
∴点B的坐标为（0，2）
∴OB=2，OD=1，
∴点D是OB的中点，
∴OA=BA，
△AOB是等腰三角形；

（3）设∠AOB=∠ABO=x°，
当AC=CB=OC时，满足条件如图①所示，
则x+x+x+x=180，
∴x=45°，
∴△AOC为等腰直角三角形，
∴a=1；
当AC=OC，AB=CB时，满足条件如图②所示，则 x+x+x+2x=180，
∴x=36°，
过A作AD⊥OB于D，则AD=a，OD=1，
在Rt△AOD中，a=OD•tan36°≈0.6．

点评：本题考查的是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有抛物线的平移、抛物线交点坐标与其解析式的组成的方程组的解的关系及等腰三角形的性质与判定，也利用了三角函数的定义，综合性比较强，定义学生的能力要求比较高，平时加强训练．