Question

16．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点M是BC的中点，点P从点M出发沿MB以每秒1个单位的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；同时点Q从点M出发以每秒1个单位长的速度在射线MC上匀速运动，在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作正方形PQEF，使它与矩形ABCD在BC的同侧，点P，Q同时出发，当点P返回点M时，则两点停止运动，设点P，Q运动的时间是t秒（t＞0）．
（1）当点P运动到BM的中点时，t=1或3；
（2）设正方形PQEF与矩形ABCD重叠部分的面积为S，直接写出S与t之间的函数关系式及t的取值范围；
（3）连结AC，当正方形PQEF与△ADC重叠部分为三角形时，求t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出BM=$\frac{1}{2}$BC=2，当点P第一次运动到BM的中点时，PM=$\frac{1}{2}$BM=1，得出t=1；当点P第二次运动到BM的中点时，运动的路程=3，得出t=3即可；
（2）分为三种情况：①当0＜t≤1.5时，PQ=2t，由正方形面积公式即可得出答案；
②当1.5＜t≤2时得出PQ=2t，AB=3，由矩形面积即可得出答案；
③当2＜t≤4时，求出PC=6-t，AB=3，由矩形面积即可得出答案；
（3）当点E在AC上时，得出△CEQ∽△CAB，得出对应边成比例，即可得出t的值；当F在AC上时，△CPF∽△CBA，得出对应边成比例，即可得出t的值；当点F在EA的延长线上时，点E在CD的延长线上，此时t=2；即可得出答案．

解答 解：（1）∵BC=4，点M是BC的中点，
∴BM=$\frac{1}{2}$BC=2，
当点P第一次运动到BM的中点时，PM=$\frac{1}{2}$BM=1，
∴t=1；
当点P第二次运动到BM的中点时，运动的路程=2+1=3，
∴t=3；
故答案为：1或3；

（2）分为三种情况：
①如图1，当0＜t≤1.5时，
∵PQ=2t，
∴S=（2t）²，
∴S=4t²；
②如图2，
当1.5＜t≤2时，
∵PQ=2t，AB=3，
∴S=6t；
③如图3，
当2＜t≤4时，
∵PC=6-t，AB=3，
∴S=-3t+18；

（3）如图4，
当点E在AC上时，
∵△CEQ∽△CAB，
∴$\frac{EQ}{AB}=\frac{CQ}{BC}$，
∴$\frac{2t}{3}=\frac{2-t}{4}$，
∴t=$\frac{6}{11}$，
当F在AC上时，
∵△CPF∽△CBA，
∴$\frac{PF}{AB}=\frac{CP}{BC}$，
∴$\frac{2t}{3}=\frac{t+2}{4}$，
∴t=$\frac{6}{5}$；当点F在EA的延长线上时，点E在CD的延长线上，此时t=2；
∴t的取值范围是$\frac{6}{11}$＜t≤$\frac{6}{5}$或t=2．

点评 本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质、分类讨论等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解决问题的关键．