Question

19．二次函数y=ax²+bx+c（a、b、c是常数）与x轴交于两个不同的点A、B，与y轴交于点C，图象顶点为点D，以AB为直径的⊙M经过点D．
（1）若a：b：c=1：3：2，求a的值；
（2）若⊙M与直线y=x相切，试判断S_△ABC与S_△ABD的大小关系，并说明理由；
（3）若⊙M与直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x相交于点P、Q，抛物线经过点（1，0），弦长PQ=|$\frac{1}{a}$|，求a的值．

Answer 1

分析 （1）设A（x₁，0），B（x₂，0），顶点D（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$），因为以AB为直径的⊙M经过点D，所以△ABD是等腰直角三角形，则有$\frac{1}{2}$|x₁-x₂|=|$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$|，即$\frac{1}{4}$[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=$\frac{（4ac-{b}^{2}）^{2}}{16{a}^{2}}$，即$\frac{1}{4}$（$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4c}{a}$）=$\frac{（4ac-{b}^{2}）^{2}}{16{a}^{2}}$，推出b²-4ac=4，由a：b：c=1：3：2，设a=k，b=3k，c=2k，代入即可解决问题．
（2）结论：S_△ABD=2S_△ABC．因为△OMN是等腰直角三角形，所以OM=$\sqrt{2}$MN，可得$\frac{|{x}_{1}+{x}_{2}|}{2}$=$\sqrt{2}$•$\frac{|{x}_{1}-{x}_{2}|}{2}$，推出b²=8ac，所以抛物线的顶点D纵坐标为$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=-c，由点C坐标（0，c），可知S_△ABD=S_△ABC．
（3）结论：S_△ABC=2S_△ABD．如图1中，作MN⊥PQ于N，连接PM．在Rt△NMP中，根据MN²+PN²=PM²，得$\frac{1}{16}$（x₁+x₂）²+$\frac{1}{4{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$（x₁-x₂）²，推出b²=12，ac=2，由题意a+b+c=0，推出a+c=±2$\sqrt{3}$，a-c=±2，由此即可解决问题．

解答 解：（1）设A（x₁，0），B（x₂，0），
∵顶点D（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$），
又∵以AB为直径的⊙M经过点D，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴$\frac{1}{2}$|x₁-x₂|=|$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$|，
∴$\frac{1}{4}$[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=$\frac{（4ac-{b}^{2}）^{2}}{16{a}^{2}}$，
∴$\frac{1}{4}$（$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4c}{a}$）=$\frac{（4ac-{b}^{2}）^{2}}{16{a}^{2}}$，
∵a≠0，
整理得（b²-4ac）（b²-4ac-4）=0，
∵b²-4ac＞0，
∴b²-4ac=4，
∵a：b：c=1：3：2，设a=k，b=3k，c=2k，
∴9k²-8k²=4，
∴k=±2，
∴a=±2．

（2）结论：S_△ABD=S_△ABC．理由如下，
如图1中，设⊙M与直线y=x相切于到N，连接MN．

∵△OMN是等腰直角三角形，
∴OM=$\sqrt{2}$MN，
∴$\frac{|{x}_{1}+{x}_{2}|}{2}$=$\sqrt{2}$•$\frac{|{x}_{1}-{x}_{2}|}{2}$，
∴（x₁+x₂）²=2[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]，
∴（x₁+x₂）²=8x₁x₂，
∴$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{8c}{a}$，
∴b²=8ac，
∴抛物线的顶点D纵坐标为$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$=-c，
∵点C坐标（0，c），
∴S_△ABD=S_△ABC．


（3）如图2中，作MN⊥PQ于N，连接PM．

由（1）可知MP=$\frac{1}{2}$|x₁-x₂|，OM=|$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$|，由题意∠MON=30°，
∴NM=$\frac{1}{2}$OM=$\frac{1}{4}$|x₁+x₂|，
在Rt△NMP中，∵MN²+PN²=PM²，
∴$\frac{1}{16}$（x₁+x₂）²+$\frac{1}{4{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$（x₁-x₂）²，
∴$\frac{{b}^{2}}{16{a}^{2}}$+$\frac{1}{4{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{4c}{a}$），
∴b²+4=4（b²-4ac），
∵b²-4ac=4（已证），
∴b²=12，ac=2，
∵抛物线经过（1，0），
∴a+b+c=0，
∴（a+c）²=12，（a-c）²=4
∴a+c=±2$\sqrt{3}$，a-c=±2，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}+1}\\{c=\sqrt{3}-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=\sqrt{3}-1}\\{c=\sqrt{3}+1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=1-\sqrt{3}}\\{c=-1-\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1-\sqrt{3}}\\{c=1-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴a的值为$\sqrt{3}$±1或-$\sqrt{3}$±1．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、一元二次方程的根与系数关系、等腰直角三角形的性质、中点坐标公式、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．