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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB6AD8,点MN分别为ADAC上的动点(不含端点),ANDM,连结点M与矩形的一个顶点,以该线段为直径作⊙O,当点N和矩形的另一个顶点也在⊙O上时,线段DM的长为_____

【答案】

【解析】

分两种情形:如图1中,当点NCM为直径的圆上时,如图2中,当点NBM为直径的圆上时,分别利用相似三角形的性质构建方程解决问题即可.

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠ADC=90°AB=CD=6BC=AD=8

AC==10

如图1中,当点NCM为直径的圆上时,设DM=AN=x

CM为直径,

∴∠CNM=90°

∵∠MAN=∠CAD, ∠ANM=∠ADC=90°

∴△ANM∽△ADC

解得x=

DM=

如图2中,当点NBM为直径的圆上时,设BC与圆的交点为H,连接MHNH.设DM=AN=y

BM是直径,

∴∠MHB=90°

∴∠MHC=∠D=∠DCH=90°

∴四边形CDMH是矩形,

CH=DM=y

∵∠NCH=∠BCA,∠CHN=∠CAB

∴△CNH∽△CBA

解得y=

DM=

故答案为:

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A. M B. N C. P D. Q

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月份

月用水量(吨)

14

18

16

13

水费(元)

42

60

50

39

1a   元;b   元;

2)求月缴纳水费p(元)与月用水量t(吨)之间的函数关系式;

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【题目】如图,AB是⊙O的直径,D是⊙O上一点,DEAB于点E,且∠ADE60°C上一点,连结ACCD

1)求∠ACD的度数;

2)证明:AD2ABAE

3)如果AB8,∠ADC45°,请你编制一个计算题(不标注新的字母),并直接给出答案.(根据编出的问题层次,给不同的得分)

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1)求证:CFFGDFBF

2)当点FBC的中点时,过FEFCDAD于点E,若AB12EF8,求CD的长.

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【题目】综合与探究

问题情境:

(1)如图1,两块等腰直角三角板△ABC和△ECD如图所示摆放,其中∠ACB=∠DCE=90°,点F,H,G分别是线段DE,AE,BD的中点,A,C,D和B,C,E分别共线,则FH和FG的数量关系是   ,位置关系是   

合作探究:

(2)如图2,若将图1中的△DEC绕着点C顺时针旋转至A,C,E在一条直线上,其余条件不变,那么(1)中的结论还成立吗?若成立,请证明,若不成立,请说明理由.

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【题目】(问题呈现)阿基米德折弦定理:

如图1ABBCO的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BCAB,点M的中点,则从MBC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CDDB+BA.下面是运用“截长法”证明CDDB+BA的部分证明过程.

证明:如图2,在CD上截取CGAB,连接MAMBMCMG

M的中点,

MAMC

又∵∠A=∠C

∴△MAB≌△MCG

MBMG

又∵MDBC

BDDG

AB+BDCG+DG

CDDB+BA

根据证明过程,分别写出下列步骤的理由:

   

   

   

(理解运用)如图1ABBCO的两条弦,AB4BC6,点M的中点,MDBC于点D,则BD   

(变式探究)如图3,若点M的中点,(问题呈现)中的其他条件不变,判断CDDBBA之间存在怎样的数量关系?并加以证明.

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