分析 (1)由等边三角形的性质得到∠EAC=30°,得到∠CEF=30°,求得∠ECF=120°,得到∠EFC=30°,推出AC垂直平分EF,得到△AEF是等边三角形,于是得到结论;
(2)连接AF,EF与AC交于点G.由CD是它的外角平分线.得到∠ACF=60°=∠AEF,根据相似三角形的性质得到$\frac{GE}{GA}=\frac{GC}{GF}$,∠AFE=∠ACB=60°,得到△AEF为等边三角形,于是得到结论.
解答 解:(1)$\frac{CF}{AE}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$;
∵△ABC是等边三角形,点E是BC的中点,
∴∠EAC=30°,
∵∠AEF=60°,
∴∠CEF=30°,
∵CD平分△ABC外角,
∴∠ECF=120°,
∴∠EFC=30°,
∴CE=CF,
∴AC垂直平分EF,
∴AE=AF;
∴△AEF是等边三角形,
∴AE=EF;
(2)连接AF,EF与AC交于点G.
∵在等边△ABC中,CD是它的外角平分线.
∴∠ACF=60°=∠AEF,
∵∠AGE=∠FGC
∴△AGE∽△FGC,
∴$\frac{GE}{GC}=\frac{GA}{GF}$,
∴$\frac{GE}{GA}=\frac{GC}{GF}$,
∵∠AGF=∠EGC,
∴△AGF∽△EGC,
∵∠AFE=∠ACB=60°,
∴△AEF为等边三角形,
∴AE=EF.
点评 本题考查了相似三角形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,角平分线的定义,正确的作出图形是解题的关键.
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