Question

【题目】工人师傅用一块长为12分米，宽为8分米的矩形铁皮制作一个无盖长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）

（1）请在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求当长方体底面面积为32平方分米时，裁掉的正方形边长是多少？

（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的5倍（长大于宽），并将容器外表面进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为0.5元，底面每平方分米的费用为2元，求裁掉的正方形边长为多少时，总费用最低，最低费用为多少元？

Answer 1

【答案】（1）裁掉的正方形的边长为2分米，底面积为32平方分米；（2）裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低费用为31元．

【解析】

（1）由题意可画出图形，设裁掉的正方形的边长为x分米，则题意可列出方程，可求得答案；

（2）由条件可求得x的取值范围，用x表示出总费用，利用二次函数的性质可求得其最小值，可求得答案．

（1）如图所示：

设裁掉的正方形的边长为x分米，由题意可得：

（12﹣2x）（8﹣2x）＝32，即x2﹣10x+16＝0，解得：x＝2或x＝8（舍去）．

答：裁掉的正方形的边长为2分米，底面积为32平方分米；

（2）设总费用为y元，则y＝2（12﹣2x）（8﹣2x）+0.5×[2x（12﹣2x）+2x（8﹣2x）]

＝4x2﹣60x+192

＝4（x﹣7.5）2﹣33．

又∵12﹣2x≤5（8﹣2x），∴x≤3.5．

∵a＝4＞0，∴当x＜7.5时，y随x的增大而减小，∴当x＝3.5时，y取得最小值，最小值为31．

答：裁掉的正方形边长为3.5分米时，总费用最低，最低费用为31元．