Question

我们可以用几何图形来解决一些代数问题，如图（甲）可以来解释（a+b）²=a²+2ab+b²，
（1）图（乙）是四张全等的矩形纸片拼成的图形，请利用图中阴影部分面积的不同表示方法，写出一个关于a，b代数恒等式表示______；
（2）请构图解释：（a+b+c）²=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac；
（3）请通过构图因式分解：a²+3ab+2b²．

Answer 1

解：（1）阴影部分的边长为（a-b），
∴（a-b）²=（a+b）²-4ab．
（2）

（a+b+c）²=a（a+b+c）+b（a+b+c）+c（a+b+c）=a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac．
（3）

（a+2b）（a+b）=a（a+b）+2b（a+b），
∴可得a²+3ab+2b²=（a+2b）（a+b）．
分析：（1）根据阴影部分的两种面积表示形式可得出恒等式．
（2）正方形的面积等于边长的平方可构建一个边长为a+b+c的正方形来验证等式．
（3）可通过构建长方形，利用长方形的面积来验证等式．
点评：本题在于面积关系的应用，通过面积的不同表示方式来证明等式是否成立．