Question

如下图，已知BE、CD分别是△ABC的角平分线，并且AE⊥BE于E点，AD⊥DC于D点． 求证：
（1）DE∥BC；
（2）．

Answer 1

证明：（1）延长AD、AE，交BC于F、G；
∵BE⊥AG，
∴∠AEB=∠BEG=90°；
∵BE平分∠ABG，
∴∠ABE=∠GBE；
∴∠BAE=∠BGE；
∴△ABG是等腰三角形；
∴AB=BG，E是AG中点；同理可得：AC=CF，D是AF中点；
∴DE是△AFG的中位线；
∴DE∥BC．
（2）由（1）知DE是△AFG的中位线，
∴DE=FG；
∵FG=BG+CF﹣BC，且AB=BG，AC=CF；
∴FG=AB+AC﹣BC，即DE=（AB+AC﹣BC）．