Question

6．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC=EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（　　）
①OH=CH；②∠CHF=45°；③OH=$\frac{1}{2}$BF；④GH=$\frac{1}{4}$BC．

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 先证明△BCE≌△DCF得到BE=DF，∠CBE=∠CDF，利用三角形内角和定理得∠EHD=∠BCE=90°，即BH⊥DF，加上BE平分∠DBC，所以DH=FH，根据直角三角形斜边上的中线性质得CH=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{2}$BE，接着利用OH为Rt△BHD斜边BD上的中线得到OH=$\frac{1}{2}$BD，于是可对①进行判断；由∠DBC=45°得∠CBE=22.5°，所以∠CDF=22.5°，加上HC=DH，所以∠CDH=∠DCH=22.5°，则根据三角形外角性质可对②进行判断；根据三角形中位线性质得OH=$\frac{1}{2}$BF，则可对③进行判断；同理可得OG=$\frac{1}{2}$BC，GH=$\frac{1}{2}$CF，再利用BH垂直平分DF得到BD=BF，所以$\sqrt{2}$BC=BC+CF，即CF=（$\sqrt{2}$-1）BC，则GH=（$\sqrt{2}$-1）OG，于是可对④进行判断．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴CB=CD，∠BCD=90°
在△BCE和△DCF中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CD}\\{∠BCE=∠DCF}\\{CE=CF}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，∠CBE=∠CDF，
而∠BEC=∠DEH，
∴∠EHD=∠BCE=90°，
∴BH⊥DF，
而BE平分∠DBC，
∴DH=FH，
∴CH=$\frac{1}{2}$DF=$\frac{1}{2}$BE，
而OH为Rt△BHD斜边BD上的中线，
∴OH=$\frac{1}{2}$BD，
∴OH＞OH，所以①错误；
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠DBC=45°，
∴∠CBE=22.5°，
∴∠CDF=22.5°，
∵HC=DH，
∴∠CDH=∠DCH=22.5°，
∴∠CHF=∠CDH+∠DCH=45°，所以②正确；
∵OB=OD，DH=FH，
∴OH为△DBF的中位线，
∴OH=$\frac{1}{2}$BF，所以③正确；
同理可得OG=$\frac{1}{2}$BC，GH=$\frac{1}{2}$CF，
∵BH垂直平分DF，
∴BD=BF，
∴$\sqrt{2}$BC=BC+CF，
∴CF=（$\sqrt{2}$-1）BC，
∴GH=（$\sqrt{2}$-1）OG，所以④错误．
故选B．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质；两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．也考查了全等三角形的判定与性质．