Question

如图，已知直线L与⊙O相切于点A，直径AB=6，点P在L上移动，连接OP交⊙O于点C，连接BC并延长BC交直线L于点D．
（1）若AP=4，求线段PC的长；
（2）若△PAO与△BAD相似，求∠APO的度数和四边形OADC的面积（答案要求保留根号）．

Answer 1

分析：（1）在Rt△OAP中，根据勾股定理可将OP的长求出，减去半径OC的长即为PC的长；
（2）如图，根据△PAO∽△BAD，可知∠2=∠APO，再根据∠1=2∠2，利用三角形的内角可将∠APO的度数求出；四边形OADC的面积可通过△ABD与△BOC的面积之差求得，也可由△OAP与△CDP的面积之差求得．

解答：解：（1）∵l与⊙○相切于点A，
∴∠A=90°
∴OP²=OA²+AP²
∵OA=OC=

1

2

AB=3，AP=4
∴OP²=3²+4²
∴OP=5
∴PC=5-3=2；

（2）∵△PAO∽△BAD，且∠1＞∠2，∠A=∠A=90°
∴∠2=∠APO．
又∠1=2∠2，∠A=90°，
∴∠1=2∠APO，
∴∠1+∠APO=90°
即3∠APO=90°
∴∠APO=30°
在Rt△BAD中，∠2=∠APO=30°
∴AD=6tan30°=6×

3

3

=2

3

方法一：过点O作OE⊥BC于点E
∵∠2=30°，BO=3
∴OE=

3

2

，BE=3×cos30°=

3 3

2

∴BC=2BE=3

3

∴S_{四边形OADC}=S_△BAD-S_△BOC=

1

2

AB×AD-

1

2

BC×OE
=

1

2

×6×2

3

-

1

2

×3

3

×

3

2

=

15

4

3

；

方法二：在Rt△OAP中，AP=6tan60°=3

3

，OP=2OA=6
∴DP=AP-AD=3

3

-2

3

=

3

，PC=OP-OC=6-3=3
过点C作CF⊥AP于F
∵∠CPF=30°
∴CF=

1

2

PC=

3

2

∴S_{四边形OADC}=S_△OAP-S_△CDP=

1

2

AP×OA-

1

2

DP×CF
=

1

2

（3

3

×3-

3

×

3

2

）
=

15 3

4

．

点评：此题考查了勾股定理的计算，相似三角形的性质与判定，不规则图形的面积的计算等知识，综合性比较强，其中不规则图形的面积可通过几个规则图形面积相加或相减求得．