Question

18．如图，抛物线y=a（x-m）²+2m-2（其中m＞1）顶点为P，与y轴相交于点A（0，m-1）．连接并延长PA、PO分别与x轴、抛物线交于点B、C，连接BC，将△PBC绕点P逆时针旋转得△PB′C′，使点C′正好落在抛物线上．
（1）该抛物线的解析式为y=$\frac{1-m}{{m}^{2}}$（x-m）²+2m-2（用含m的式子表示）；
（2）求证：BC∥y轴；
（3）若点B′恰好落在线段BC′上，求此时m的值．

Answer 1

分析 （1）只需将A点坐标（0，m-1）代入y=a（x-m）²+2m-2，即可求出a值，从而得到抛物线的解析式．
（2）由点A、P的坐标可求出直线AP的解析式，从而求出点B的横坐标为-m；由点P的坐标可求出直线OP的解析式，从而求出直线OP与抛物线的交点C的横坐标为-m．由于点B、C的横坐标相同，故BC∥y轴．
（3）利用三角形的内角和定理、图形旋转的性质等知识，结合条件可以证到∠POD=∠BAO，从而可以证到△BAO∽△POD，进而得到$\frac{BO}{PD}=\frac{AO}{OD}$，由BO=m，PD=2m-2，AO=m-1，OD=m，可得：$\frac{m}{2m-2}=\frac{m-1}{m}$，通过解方程就可解决问题．

解答 （1）解：∵A（0，m-1）在抛物线y=a（x-m）²+2m-2上，
∴a（0-m）²+2m-2=m-1．
∴a=$\frac{1-m}{{m}^{2}}$．
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1-m}{{m}^{2}}$（x-m）²+2m-2．
故答案为：y=$\frac{1-m}{{m}^{2}}$（x-m）²+2m-2．
（2）证明：如图1，
设直线PA的解析式为y=kx+b，
∵点P（m，2m-2），点A（0，m-1）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{mk+b=2m-2}\\{b=m-1}\end{array}\right.$．
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{m-1}{m}}\\{b=m-1}\end{array}\right.$．
∴直线PA的解析式是y=$\frac{m-1}{m}$x+m-1．
当y=0时，$\frac{m-1}{m}$x+m-1=0．
∵m＞1，
∴x=-m．
∴点B的横坐标是-m．
设直线OP的解析式为y=k′x，
∵点P的坐标为（m，2m-2），
∴k′m=2m-2．
∴k′=$\frac{2m-2}{m}$．
∴直线OP的解析式是y=$\frac{2m-2}{m}$x．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2m-2}{m}x}\\{y=\frac{1-m}{{m}^{2}}（x-m）^{2}+2m-2}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=m}\\{y=2m-2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-m}\\{y=2-2m}\end{array}\right.$．
∵点C在第三象限，且m＞1，
∴点C的横坐标是-m．
∴BC∥y轴．

（3）方法一：
解：若点B′恰好落在线段BC′上，
设对称轴l与x轴的交点为D，连接CC′，如图2，
则有∠PB′C′+∠PB′B=180°．
∵△PB′C′是由△PBC绕点P逆时针旋转所得，
∴∠PBC=∠PB′C′，PB=PB′，∠BPB′=∠CPC′．
∴∠PBC+∠PB'B=180°．
∵BC∥AO，
∴∠ABC+∠BAO=180°．
∴∠PB′B=∠BAO．
∵PB=PB′，PC=PC′，
∴∠PB′B=∠PBB′=$\frac{180°-∠BPB'}{2}$，
∴∠PCC′=∠PC′C=$\frac{180°-∠CPC'}{2}$．
∴∠PB′B=∠PCC′．
∴∠BAO=∠PCC′．
∵点C关于直线l的对称点为C′，
∴CC′⊥l．
∵OD⊥l，
∴OD∥CC′．
∴∠POD=∠PCC′．
∴∠POD=∠BAO．
∵∠AOB=∠ODP=90°，∠POD=∠BAO，
∴△BAO∽△POD．
∴$\frac{BO}{PD}=\frac{AO}{OD}$．
∵BO=m，PD=2m-2，AO=m-1，OD=m，
∴$\frac{m}{2m-2}=\frac{m-1}{m}$．
解得：
∴m₁=2+$\sqrt{2}$，m₂=2-$\sqrt{2}$．
经检验：m₁=2+$\sqrt{2}$，m₂=2-$\sqrt{2}$都是分式方程的解．
∵m＞1，
∴m=2+$\sqrt{2}$．
∴若点B′恰好落在线段BC′上，此时m的值为2+$\sqrt{2}$．
方法二：
∵点C关于直线l的对称点为C″，
∴Px=$\frac{{C}_{X}+C{'}_{X}}{2}$，
∵C（-m，2-2m），P（m，2m-2），
∴m=$\frac{-m+C{'}_{x}}{2}$，
∴C′_X=3m，
∴C′（3m，2-2m），
∵将△PBC绕点P逆时针旋转，
∴△BCP≌△B′C′P，
∵点B′恰好落在线段BC′上，
∴线段BP所对的∠BCP=∠B′C′P，
∴点P，B，C，C′四点共圆，（同侧共底的两个三角形顶角相等，则四点共圆）
∵C_Y=C′_Y=2-2m，
∴CC′⊥BC，
∴BC′为P，B，C，C′四点共圆所在圆的直径，
∴BP⊥C′P，
∴K_BP×K_C′P=-1，
∵P（m，2m-2），
∴C′（3m，2-2m），B（-m，0），
∴$\frac{2m-2-2+2m}{m-3m}×\frac{2m-2}{m+m}=-1$=-1，
∴m²-4m+2=0，
∴m₁=2-$\sqrt{2}$，m₂=2+$\sqrt{2}$，
∵m＞1，
∴m=2+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、相似三角形判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的性质、解分式方程、三角形的内角和定理、旋转的性质、抛物线与直线的交点等知识，综合性比较强，有一定的难度．而证明∠POD=∠BAO，进而证到△BAO∽△POD是解决第3小题的关键．