Question

已知两等圆⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，过点B作任意直线分别与⊙O₁交于点C，与⊙O₂交于点D．
（1）试判别△ACD的形状，并证明你的结论成立；
（2）两圆再满足什么条件时，△ACD为等边三角形？（要求：画出图形，并证明）

Answer 1

分析：（1）根据等圆的定义和圆心角、弧、弦之间的关系得到∠C=∠D，根据等腰三角形性质推出即可；
（2）根据等圆定义得到等边三角形，推出∠AO₁O₂=60°，得到∠C=60°，根据等边三角形的判定即可推出答案．

解答：证明：△ACD为等腰三角形．
（1）∵⊙O₁，⊙O₂为等圆，AB=AB，
∴

AmB

=

AnB

∴∠C=∠D，
∴AC=AD，
∴△ACD是等腰三角形．

（2）解：当⊙O₁过O₂点时（或⊙O₂过O₁点），△ACD为等边三角形．
证明：∵连接O₁A、O₁O₂、O₂A、O₂B，
∵⊙O₁、⊙O₂是等圆，
∴O₁A=O₁O₂=O₂A，
∴△AO1O₂是等边三角形，
∴∠AO₁O₂=60°，
又∵AB=2AO₂，
∵∠C=∠AO₁O₂=60°，
又∵AC=AD，
∴△ACD为等边三角形．

点评：本题主要考查对相交两圆的性质，圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的判定，等腰三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．