Question

14．如图，已知⊙O的直径AB=10，弦AC=6，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥AC交AC的延长线于点E．
（1）求证：DE是⊙O的切线．
（2）求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD，欲证明DE是⊙O的切线，只要证明OD⊥DE即可．
（2）过点O作OF⊥AC于点F，只要证明四边形OFED是矩形即可得到DE=OF，在RT△AOF中利用勾股定理求出OF即可．

解答 证明：（1）连接OD，
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAB，
∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAO，
∴∠ODA=∠DAE，
∴OD∥AE，
∵DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O切线．

（2）过点O作OF⊥AC于点F，
∴AF=CF=3，
∴OF=$\sqrt{A{O}^{2}-A{F}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4．
∵∠OFE=∠DEF=∠ODE=90°，
∴四边形OFED是矩形，
∴DE=OF=4．

点评 本题考查切线的判定、矩形的判定和性质、垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是记住切线的判定方法，学会添加常用辅助线，属于基础题，中考常考题型．