Question

已知：用两个边长为3全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形ABCD且，把一个含60°的三角尺与这个菱形叠合；如果使三角尺60°的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合．将三角尺绕A点按逆时针方向旋转（旋转角小于60°）．

（1）当三角尺的两边与菱形的两边BC、CD相交于点E、F．
①BE、CF有何数量关系，并证明你的结论．
②接EF，求△CEF面积的最大值．
（2）连接BD，在旋转过程中三角尺的两边分别与BD相交于点M、N，是否存在以BM、MN、ND为边的直角三角形？若存在，求BM的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵△ABC和△ACD为等边三角形，
∴∠B=∠ACD=60°，∠BAC=60°，AB=AC，
又∵∠EAF=60°，且∠BAE=∠BAC-∠AEC=60°-∠AEC，∠CAF=∠EAF-∠AEC=60°-∠AEC，
∴∠BAE=∠CAF，
又∵在△ABE和△ACF中，
，
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴BE=CF；
（2）∵△ABE≌△ACF，
∴S_△ACF=S_△ABE，AE=AF，
又∵等边△ABC的边长为3，且S_{四边形AECF}=S_△AEC+S_△ACF，S_△ABC=S_△AEC+S_△ABE，
∴S_{四边形AECF}=S_△ABC=×3×=，
∴S_△ECF=S_{四边形AECF}-S_△AEF=S_△ABC-S_△AEF=-S_△AEF，
又∵∠EAF=60°，AE=AF，
∴△AEF为等边三角形，
∴三角尺运动过程中，当AE⊥BC时，S_△AEF最小，S_△ECF最大，
∴当AE⊥BC时，AE=，S_△AEF=××=，
则S_△ECF=-S_△AEF═-=；
（3）将△ABM绕点A逆时针旋转120°得到△ADP，其中AM=AP，AB=AD，BM=PD，
∵△ADP≌△ABM，
∴∠PAD=∠BAM，
又∵∠EAF=60°，∠CAD=60°，∠EAC=∠EAF-∠ACF=60°-∠ACF，
∠DAF=∠CAD-∠ACF=60°-∠ACF，
∴∠EAC=∠DAF，
∴∠PAN=∠PAD+∠DAF=∠BAM+∠EAC=∠BAC=60°，
又∵在△AMN和△APN中，
，
∴△AMN≌△APN（SAS），
∴MN=PN，
又∵在△PND中，MN=PN，BM=PD，
∴△PND即为以MN，BM，ND为边的三角形，
易知∠PDN=60°，
所以△PND为直角三角形的情况分为两种：
①∠PND=90°，如图4所示，
∵Rt△PND中，∠PDN=60°且BD=3，
∴ND=PD，PN=PD，
则BD=BM+MN+ND=PD+PN+ND，即3=PD+PD+PD，
则BM=PD=3-3；

②∠NPD=90°，如图5所示，
∵Rt△PND中，∠PDN=60°且BD=3，
∴ND=2PD，PN=PD，
∴BD=BM+MN+ND=PD+PN+ND，即3=PD+2PD+PD，
则BM=PD=．
分析：（1）①BE=CF，理由为：由三角形ABC与三角形ACD都为等边三角形，利用等边三角形的性质得到一对角相等，一对边相等，利用等式的性质得到另一对角相等，利用ASA得到三角形ABE与三角形ACF全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
②由三角形ABE与三角形ACF全等，得到两三角形面积相等，AE=AF，根据等边三角形ABC的边长为3，求出四边形AECF的面积，即为三角形ABC的面积，表示出三角形ECF的面积，当AE垂直于BC时，三角形AEF面积最小时，三角形ECF面积最大，求出此时AE的长，确定此三角形AEF的面积，即可求出三角形ECF面积的最大值；
（2）将△ABM绕点A逆时针旋转120°得到△ADP，其中AM=AP，AB=AD，BM=PD，由三角形ADP全等于三角形ABM，得到对应角∠PAD=∠BAM，再由∠EAF=60°，∠CAD=60°，利用等式的性质得到一对角相等，利用SAS得到三角形ADP与三角形ABM全等，利用全等三角形的对应边相等得到MN=PN，又在△PND中，MN=PN，BM=PD，故△PND即为以MN，BM，ND为边的三角形，易知∠PDN=60°，所以△PND为直角三角形的情况分为两种：①∠PND=90°，如图4所示，求出此时BM的长；②∠NPD=90°，如图5所示，求出此时BM的长即可．
点评：此题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，利用了分类讨论及数形结合的思想，是一道综合性较强的探究题．