Question

（2013•河东区二模）已知线段AB=8

2

，C、D是AB上两点，且AC=2，BD=4，P是线段CD上一动点，在AB同侧分别作等腰三角形APE和等腰三角形PBF，M为线段EF的中点，若∠AEP=∠BFP，则当点P由点C移动到点D时，点M移动的路径长度为

4

2

-3

．

Answer 1

分析：分别延长AE、BF交于点H，易证四边形EPFH为平行四边形，得出M为PH中点，则M的运行轨迹为三角形HCD的中位线QN．再求出CD的长，运用中位线的性质求出QN的长度即可．

解答：解：如图，分别延长AE、BF交于点H．
∵△APE和△PBF都是等腰三角形，且∠AEP=∠BFP
∵∠A=∠FPB，
∴AH∥PF，
同理，BH∥PE，
∴四边形EPFH为平行四边形，
∴EF与HP互相平分．
∵M为EF的中点，
∴M为PH中点，即在P的运动过程中，M始终为PH的中点，所以M的运行轨迹为三角形HCD的中位线QN．
∵CD=AB-AC-BD=8

2

-6，
∴QN=

1

2

CD=4

2

-3，即M的移动路径长为4

2

-3．
故答案是：4

2

-3．

点评：本题考查了等腰三角形及中位线的性质，以及动点问题，是中考的热点．