Question

【题目】已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点(不与C，D重合)．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．

（1）若点F在边CD上，如图1．

①证明：∠DAH=∠DCH；

②猜想：△GFC的形状并说明理由．

（2）取DF中点M，连接MG．若MG=2.5，正方形边长为4，求BE的长．

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②△GFC是等腰三角形，理由见解析；（2）BE的长为1或7．

【解析】

（1）①根据正方形的性质可得AD=CD，∠ADH=∠CDH，利用SAS可证明△ADH≌△CDH，即可得∠DAH=∠DCH；

②由正方形的性质可得∠DAH+∠AFD=90°，由CG⊥HC可得∠DCH+∠FCG=90°，根据∠AFD=∠CFG，可得∠CFG=∠FCG，即可证明CG=FG，可得△GFC是等腰三角形；

（2）当点F在线段CD上时，连接DE，根据正方形的性质及角的和差关系可得∠E=∠GCE，即可证明CG=EG，由△GFC是等腰三角形可得CG=GF，可得点G为EF中点，即可证明GM是△FDE的中位线，根据中位线的性质可求出DE的长，利用勾股定理可求出CE的长，进而根据BE=BC+CE即可求出BE的长；当点F在DC延长线上时，连接DE，同理可得MG为△FDE的中位线，可求出DE的长，利用勾股定理可求出CE的长，根据BE=BC-CE即可求出BE的长．

（1）①∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，∠ADB=∠CDB=45°，

在△ADH和△CDH中，，

∴△ADH≌△CDH，

∴∠DAH=∠DCH．

②△GFC是等腰三角形，理由如下：

∵四边形ABCD是正方形，CG⊥HC，

∴∠ADF=∠HCG=90°，

∴∠DAH+∠AFD=DCH+∠DCG=90°，

∵∠DAH=∠DCH，∠HFD=∠CFG，

∴∠CFG=∠GCF，

∴CF=CG，

∴△GFC是等腰三角形．

（2）如图，当点F在线段CD上时，连接DE，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠CEF+∠CFG=90°，∠GCE+∠GCF=90°，

∵∠CFG=∠GCF，

∴∠CEF=∠GCE，

∴CG=EG，

∵CG=FG，

∴FG=EG，

∵点M是DF的中点，

∴GM是△DFE的中位线，

∵GM=2.5，

∴DE=2GM=5，

∵正方形ABCD的边长为4，

∴CE==3，

∴BE=BC+CE=4+3=7．

如图，当点F在DC的延长线上时，连接DE，

同理可得：MG为△DFE的中位线，

∴DE=2GM=5，

∴CE==3，

∴BE=BC-CE=4-3=1，

综上所述：BE的长为1或7．